International Mathematics Tournament of Towns

環球城市數學競賽

1999秋季賽 初中組　高級卷解析

 

  1. 如果可以將正整數1,2,3, …,重新排成一數列，使得任意連續三項之和，都能被這三項中的第一項整除。如果這個數列的最末一項是奇數，試求的最大值。(三分)

    小淳：第1項是2，第2項是1，第3項是3，第4項是4，第5項是5。這是我隨便試試看，結果所能得到滿足題意的最長數列。

    小承：你作對一半了，它是最長的。但是你知道為什麼滿足題意的數列最長的長度是5。

    小淳：不知道！

    小君：如果數列滿足題意，則不可能有連續二項是偶數，否則這二項之後的項都是偶數，題目要求最後一項是奇數。

    小淳：如果是偶數，是奇數，則是奇數。但是是奇數，那我就推不出什麼結論了。

    小承：其實你們兩個已經講出答案的主要部份了，根據一個偶數後面一定要接二個或二個以上的奇數。除非接了一個奇數之後，整個數列就結束了。由於從中奇數的個數比偶數的個數最多多一個。所以整個數列最多只有2個偶數，而且第一項是偶數，也就是偶奇奇偶奇。這樣我們用樹狀圖還可以找出所有滿足題意的最長數列出來。  

  2. △ABC為銳角三角形，是AB線段上之任一點；是BC線段上之任一點；是CA線段之中點。求證：
    A.三角形之面積不大於三角形ABC面積的一半。(二分)
    B.若三角形之面積等於三角形ABC面積的1/4，則是BC線段之中點或是BA線段之中點；反之，若是BC線段之中點或是BA線段之中點，則三角形之面積等於三角形ABC面積 的1/4。(二分)

小淳：這題(a)部份很簡單，如圖一(a)當靠近A點，點靠近B點則，會越大，而的面積=的面積，所以不大於△ABC面積的一半。

小承：如果圖形不是圖一(a)而是圖一(b)怎麼辦？

小淳：那是一樣的，對稱嘛。

小承：如果圖形是圖一(c)或圖一(d)呢？

小淳：當圖形是圖一(c)和圖一(d)的情形，若靠近A, B 的中點M的話，的面積會越來越大，所以的面積的面積面積。這樣面積面積哇！怎麼這麼麻煩啦。

小君：好麻煩哦！還要分那麼多種情況討論。我最近讀了張景中教授著的《平面幾何新路》，我想這個題目應可以用面積關係來解。假設是中點，，分別為，線段上的任意點。假設，，，，。根據共角定理










　　　

小地：我也不必分這麼多情形討論，只要我們把所有的面積都擴大2倍就可以了，

小君、小淳：怎麼說？

小承：作一個平行四邊形ABCD(如圖三)。D作交於，交於，連接，因為B是中點，所以，因為，所以，又，所以。則。同理可證。因為兩對分線互相平行所以平行四邊形是平行四邊形，這樣，我們知道

小君：(b)部份簡單多了，如果是中點，那是，因為同低又同高。所以，又是中點，所以。另一方面，如果是中點，同理可證。假設不是中點，若點從的A點移到B點，當靠近C點則面積會愈來愈少，當靠近C點則面積會愈來愈大，只有C點是中點才會使得，得證。

小承：其實你也可以用放大的圖去證明(b)。

  1. 有100個砝碼，它們的質量分別為1,2,3,…,100克，在所有可以將這100個砝碼分成二組放在天平的兩邊，使它們平衡的方法中，試證：一定可以從天平之兩邊各拿掉兩個砝碼，而不影響天平的平衡。(五分)

    君南：這一題，我試了好久都作不出來。

    承南：如果x - y是偶數則x , y同為奇或偶數。如果x - y是奇數，則x , y兩數為奇偶各一，照題意來看1∼100中有50個偶數50個奇數，若是可以排成50對，使其編號恰為1至50。那麼1至50中有25個奇數。所以必須用去1至100中25個奇數和25個偶數，剩下奇數和偶數各25個，這樣就不可能排成25對，用奇偶的數對，所以不可能。

    曉地：我有不同的作法，首先將這50對中每一對大的數放左邊，小的數放右邊，令左邊的數全部相加之和為A，右邊的數全部相加之和為B，則又則不是整數。矛盾，所以答案是不可能。

    永淳：其實用任意二個整數的和與差同為奇數或偶數，就可以了。每一對中二數和與它的編號同為奇數或偶數。則50對的整數全部相加之和與50對的編號 全部相加之和的奇偶性一樣，但是是偶數，是奇數。所以答案是不可能。

  2. 在棋盤上的第1列放置個黑色棋子，在第列放置個白色棋子。每次移動可以將任何一個棋子橫走或直走一步到相鄰的空格。 試問：在下列二種情形中，要使所有的黑白棋子位置互調，最少各要走多少步？
    A.當 = 8時；(三分)
    B.當 = 7時。(四分)


    小淳：同一行的黑白棋子對調，最多只有一種顏色棋子走直線，如果棋子走直線，則它至少要比走直線多1步。當 = 8時，走直線需要7步，至少有8個棋子不走直線。所以，全部至少要步。走法是

我們知道當 = 7時，不走直線的直子比走直線的棋子多走一步，若且惟若。它走到隔壁行的尾端，若不走直線的棋子回到同一行的尾端則它比走直線的棋子多走二步。如果停在不是隔壁的其它行，則會比走直線的棋子多走兩步，因為是奇數，不可能每隻棋子都是走到隔壁行所以至少要步。走法是

  1. 有一張矩形的紙片，內部隨意剪掉了N個小矩形的洞，這些小矩形的邊都與原來紙片的邊互相平行。若無論這N個洞如何分佈，一定有方法能將這張有N個洞的紙片剪為M個矩形小紙片，試求M的最小值。(註：矩形包括正方形) (九分)

    我們證明M = 3n + 1

    (一)
    　　 我們證明任意N個洞的紙片可以剪成3N + 1個矩形。
    　　 沿著每一個洞的垂直方向(水平方向也可以)的洞的邊上下剪開。直到碰到其它洞的水平方向的邊或者矩形紙片的邊。一共剪開了2N刀，如果矩形紙片沒有洞則沿垂直方向剪2N刀，會把矩形分成2N + 1片。
    　　 一條長條形攔腰剪一矩形，會把這長條形分成二條，所以每多一個“洞”造成另一片，故一共有2N + 1 + N = 3N + 1片。

    (二)
    　　 考慮圖一，我們證明這個圖至少要分成3N + 1個矩形。
    　　 這個圖有N個洞。將第i個洞的東西南北邊上的中點分別編號為。
    　　 從左上到右下(編號為1，2，3，…，N，第i + 1個洞在第i個的東南方。今把所有(一共有4N個點)分成N + 1個集合如下：
    　　
    觀察圖一後，我們知道

       


    (i) 剪完之後的小矩形紙片至多只能同時包含這四個點中的二個點。，，或

    (ii)        從下圖可以看出，如果小矩形紙片包含四個點之中的二個點，則另外二點必是不可能屬於同一矩形紙片。

     

    (iii)     剪完之後的小矩形紙片不會包含不同於集合中的點。

    　　由(i)，(ii)，(iii)剪完之後的小矩形紙片，最多有n - 1個包含所有，中2個點。所以至少要4N - (N - 1)=3N + 1張紙片