International Mathematics Tournament of Towns

環球城市數學競賽

1999秋季賽高中組　初級卷解析

將某三角形的內心和三個頂點相連，把原三角形分割為3個小三角形。已知其中一個小三角形與原三角形相似，求原三角形各角的角度。(四分)
(內心是指三角形的三個內角平分線之交點。)

承青：這題非常簡單，這三角形的三個角度是, , 。

君南：承青，你怎麼知道三角形三個角的答案呢？

承青：很簡單！令的內心為，不失一般性根據題意我們可以令，因為，所以我們令，其中，由於和某角全等，但是，所以，這樣，，所以, , 。
(2)同理可證。

曉安：其實可以不必分二種情形討論，只要我們先定好角度的大小關係即可。不失一般性，我們可以令，由於，只有等於，只有等於，另外。也就是說, 。又，所以, , 。

證明：有無限多個正奇數，使得不是質數。(四分)

君南：這題好難喲！怎麼找無限個呢？

承青：就是找一大類呀！這題答案是，其中。

君南：為什麼？

承青：因為當是奇數時，除以3的餘數是2。當是奇數，所以除以3的餘數和除以的餘數一樣，也就是，只要是自然數，一定是3的倍數，又的值隨著變大而變大，所以它不是質數。

君南：為什麼你會我都不會。

永淳：其實構造無限個奇數的法很多，君南，你想想看，整數“不是質數”是什麼意思？

君南：就是除了1和本身之外，還有其它因數。

永淳：好，如果你想構一大堆型的整數，使得整數都是它們的因數，那你會從哪一個因數著手？

君南：從2開始，嗯！我來作作看，呀！不行，當是奇數，也一定是奇數。

永淳：沒關係，2不行，那你會再試那一個數？君南：好，，因為是奇數，所以可以令，，只要是3的倍數，則也會是3的倍數，所以，其中。嗯，我會了，如果我想到的是5呢？

永淳：你可以再試試看。

君南：，可以分為奇、偶二類，若(i) ，則，所以。這樣，也就是, 。若(ii) ，則，所以，這樣，也就是, 。這樣我又構造2組答案了，一組是, ，另一組是, 。

空間中有個平面，每個平面恰好與1999個其它平面相交，求的所有可能值。(四分)

此題解法與國中組初級卷第(3)題同。略。

已知有一百個整數1，2，…，100，將這一百個整數分為50對，每一對中的兩數之差稱為這一對的編號，請問這50對全部的編號可否恰好為1至50？(四分)

君南：這一題我試了好久都作不出來。

承青：如果是偶數，則, 同為奇或偶數；如果是奇數，則, 兩數為奇偶各一，照題意來看，1~100中有和50個偶數50個奇數，若是可以排成50對，使其編號恰為1至50，那麼1至50中有25個奇數，所以必須用去1至100的中25個奇數和25個偶數，剩下奇數和偶數各25個，這樣就不可能排成25對同奇偶的數對，所以不可能。

曉地：我有不同的作法，首先將這50對中每一對大的數放左邊，小的數放右邊，令左邊的全部相加之和為，右邊的數全部相加之和為，則，又，則，不是整數，矛盾。所以此命題不可能。

永淳：其實用任意二個整數和與差同為奇數或偶數就可以了，每一對中的二數之和與它的編號同為奇數或偶數，則50對的整數全部相加之和與50對的編號全部相加之和的奇偶性一樣，但是是偶數，是奇數，所以答案是不可能。