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Not too shy to talk



註冊日: 2011-09-20
發表數: 36


 Re: 三等分角的讨论

有李尚志的数学导师-----------曾肯成。

一个介绍是：【例如，讲《抽象代数》时，他（ 曾肯成）从三等分角、五次方程求根公式这样有名而又有趣的故事开始； 】

有范德瓦尔登 著作的《代数学Ⅰ》一书，丁石孙、曾肯成和郝鈵新翻译，万哲先校注 科学出版社出版。

（P185-----P187）

8.9 圆规与直尺作图

【逆定理 如果线段x 可以由已知线段a，b，.......用圆规与直尺作出，那么x 就可以由a，b，.......经有理运算与平方根表示。】

【利用关系 cos(3φ ) = 4( cosφ )^3-3( cosφ )】

【化成解方程 4x^3-3x=α {α=cos(3φ )}】

【在什么时候元素x可以由已知元素a，b，.......通过有理运算与平方根表示？】

【我们已经看到，三等分角的问题化成方程 4x^3-3x-α=0 这里α是不定元。】

【三等分角不能用圆规与直尺来作】

********************************************************************************************

比较{α=cos(3φ )}与（cosφ=x）。

显然{α=cos(3φ )}中的α作为“已知线段a，b，.......”这样的元素参与了“方程 4x^3-3x-α=0 ”的讨论。

作为“方程 4x^3-3x-α=0 ”求解的结果“根x”应该怎么样去体现“在什么时候元素x可以由已知元素a，b，.......通过有理运算与平方根表示”？或者是不可能？

在“方程 4x^3-3x-α=0 ”中，α是元素，根x也是元素。根x长什么样子，讨论中没有给出。所以根x是一个神秘的数。

也就是说，“三等分角不能用圆规与直尺来作”这个结论是用一个神秘的数“根x”给出的。

这样的“故事”真的是很有趣！

 2025-11-09 15:59個人資料
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Not too shy to talk



註冊日: 2011-09-20
發表數: 36


 Re: 三等分角的讨论

有《数学女孩5 伽罗瓦理论》一书，作者是日本作家结城浩 译者是陈冠贵 人民邮电出版社出版

【（P432） 伽罗瓦理论把数学以最美的形式展现给我们。】

【（P141）“哥哥，你知道三等分角问题吗？”】

【（P54）明白如何站在域的角度看方程了吗？】

【（P56）2.4.4 回家路上】

【（P56）我认为求根公式是用“系数表示解”。这并没有错。但是米嘉尔用域的观点，重新解读了求根公式。】

【（P56）域的角度...........我还不太理解。我知道这和强行解方程是不同的。】

【（P57）如果我能站在更宏观的角度，或许可以更深入地理解。】

【（P144）在数学上被认定为“不可能”，就代表它已经被证明，并不是努力就能推翻的。】

【（P162）“cos 丌 /9？ 那是什么？ ” （P162）“是cos 20°吧。”】

【（P164）5.4 .1看穿结构】
【（P164）cos20°=0.939 692 620 785 908 384 054 109 277 342 73……】
【（P164）我想知道的并不是具体数值。】
【（P164）我想知道的是，cos20°是否为规矩数，即对有理数重复进行加减乘除运算与开根号运算，能不能得到cos20°。】
【（P164）我想证明cos20°不是规矩数，为此我不能只关注数值，必须看穿cos20°所拥有的性质。对，我得用看穿结构的慧眼……】

【（P165）cos20°是何种方程的解？】

【（P165）�茞z数√2是x^2-2=0 这个方程的其中一个解， 】

【 （P166）我虽然不懂 cos 20°，但是很懂 cos 60°。cos60°是（ 1/2 ）。而cos 20°与cos60°是相关联的。】

【（P168） x^3-3x-1=0 这个三次方程有3个解，其中一个解是（2cos20°）。】

******************************************************************************
【（P169） x^3-3x-1=0 （60°的三等分方程）】
【（P169）我想证明这个方程没有规矩数的解。】
【（P169）要证明没有，一定得使用反证法吧。】
*****************************************************************************

【（P172）虽然x^3-3x-1=0 没有有理数的解，但我不能说它没有规矩数的解。】

【（P173）假设只进行一次开根号运算的数为p+q√r】

【（P173）方程x^3-3x-1=0 有这种形式解p+q√r吗？】

【（P175）假设x^3-3x-1=0 在.........范围内有解，将这个解设为p+q√r∈ K（√r）】

【（P175）因为p+q√r是方程的解，】

【（P176）但是，要怎么引出矛盾呢？】

【（P177）若方程x³ - 3x - 1 = 0拥有p+q√r 这个解，】

【（P180）若p+q√r 为三等分方程x³ - 3x - 1 = 0的一个解】

【（P180）我正在使用反证法证明，所以应该将假设导向矛盾。】

******************************************************************************
【（P181）我知道了！】
【（P181）是根与系数的关系！】
【（P181）只要使用三次方程的“根与系数的关系”即可！】
******************************************************************************

【（P182）因此反证法的假设不成立。】


【（P183）方程x^3-3x-1=0 】
【（P183）总之，这个方程（x^3-3x-1=0 ----注）从有理数开始，没有重复有限次加减乘除运算与开根号运算后能得到的解。换句话说，它没有规矩数的解。证明完成！】

【（P184）cos 20°不是规矩数。】

【（P184）太棒了！我终于证明了三等分角问题！】

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@


【（P245）我们的目的是得到三次方程的求根公式。方程的求根公式就是从系数得到解，也就是用系数来表示解。】

（P438） 尾声
cos 2丌 /17 =-（1/16）+(√17)/16+√{2(17-“√17”)}/16+2/16√{17+3√17-√(34-2√17)-2√(34+2√17)}
【(34-2√17)=2(17-“√17”)】

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

（cos 2丌 /17 与正十七边形相关。）
（cos 2丌 /18=cos 20°与正十八边形相关）

书中日本作家结城浩将设定的 p+q√r 数学结构为依据，通过“反证法”，证明了“三等分角问题”。

“cos 20°不是规矩数”的“数学结构”是什么？日本作家结城浩“用看穿结构的慧眼”的回答是：“（P166）我虽然不懂 cos 20°”！！！

所以，cos 20°是一个神秘的数。

 2025-12-06 16:06個人資料
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