2005澳洲AMC初級試題第30題

一.利用奇偶性證明此數為2的倍數
二.利用奇偶數的平方的特性證明此數不為四的倍數
三.令此數=2*(奇合數)=2*(pq),其中p為質數且p小於q
證明p不為3且p=5
四.最後證明此數=1^2+2^2+5^2+10^2=130,大尼i成
故答案為13

crazytrquan提到:
令此數=2*(奇合數)=2*(pq),其中p為質數且p小於q
證明p不為3且p=5

應修正為：
1^2+2^2+p^2+q^2=5+p^2+q^2=2的倍數，故p,q必為一奇一偶

因該數已排除是4的倍數，因此p,q應分別為下一個奇質因數k與一合數2k
設該數為2km
如此，5+k^2+(2k)^2=2km
5k^2-2mk+5=0
判別式4m^2-100=4(m^2-25)必須為完全平方數
設m^2-25=n^2則m^2-n^2=25
解m+n=5，m-n=5，則m=5，n=0，代入求得k=1，不合
解m+n=25，m-n=1，則m=13，n=12，代入求得k=5
該正整數為2*5*13
因此可以整除該正整數的最大質數為13

引用：

笑哥 寫道:
設該數為2km
如此，5+k^2+(2k)^2=2km
5k^2-2mk+5=0
判別式4m^2-100=4(m^2-25)必須為完全平方數
設m^2-25=n^2則m^2-n^2=25
解m+n=5，m-n=5，則m=5，n=0，代入求得k=1，不合
解m+n=25，m-n=1，則m=13，n=12，代入求得k=5
該正整數為2*5*13
因此可以整除該正整數的最大質數為13

改為
故此數=1^2+2^2+k^2+(2k)^2=5(1+k^2)
為5的倍數
故此數=5(1+5^2)=130=2*5*13(驗合)
因此可以整除該正整數的最大質數為13
會更好

能詳細證明此數為2的倍數，且不為4的倍數嗎？

謝謝

crazytrquan提到
二.利用奇偶數的平方的特性證明此數不為四的倍數

因1^2+2^2+a^2+b^2=偶數，故a,b必為一奇一偶
令a=2m，b=2n+1
1^2+2^2+4m^2+4n^2+4n+1=4(m^2+n^2+n+1)+2
故此數不為四的倍數

但為何此數為2的倍數？
謝謝

一.利用奇偶性證明此數為2的倍數
假設此數不為偶數,則其所有因數均為奇數
則四個最小因數之平方和必為偶數
與假設矛盾,故此數必為偶數,亦即必為2的倍數