我覺得你是少數能堅持努力去研究這些題目的優秀學生，最早引進數學競賽的九章，總是維持一貫宗旨，釵h題目都具有深具啟發性，開拓數學新眼光與思維，如果你能常常把它放在心上，將來一定成就不凡．

　　每個人對於難題處理有各種情形，有人擱置，有人尋求幫助，有人藉此調整自己的學習，有人可以突破，有的人一輩子解不出來，停留在競賽結果的思維，只是在"留級制度"中做優劣比對，沒有真正資優跳級到應面對的層次．

　　任何難題都是建立在合理嚴密的邏輯思維，新穎創新的解題方法，絕非僅靠靈感與直覺．所有的靈感產生在快速反應和不斷的修正過程中，在解題過程中可以找出自己需要加強的能力，例如驗證各種方法可行性時，要確定百分百正確無誤，對解題者和儘鱆抭ㄛO一大挑戰，在欠缺其他相關能力時，並無法突破瓶頸，如果能進一步意識到這個問題，對學習方向必然有很大的提升與引導．例如第二題中，n=8有256種初始情況，每種情況產生8種不同結果，就2048種變化一一驗證時，可以將0~255的數字轉成二進位的八位數字，就產生結果進行驗證，如此才能因應各種不同方法的可行性做快速有效的評估．否則當你僅能確定自己的方法可行，卻又不能找出別人方法的錯誤，還是不夠完整解題．

　　看到你的努力，真是做為長輩的我們心中的快樂．

這幾天又把題目翻出來看

仔細想了想

總算想出一個n=7,13/16=0.8125的方法

可是好像還差了一點

請把作法寫出讓大家替您檢驗。

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孫文先 敬上

作法大致如此

先把全部分成3堆(3.3.1)之情況

在第一堆中若全為偶數或奇數我們視為A,非前述情況視為B

在第二堆中若全為偶數或奇數我們視為B,非前述情況視為A

在第三堆偶為A,奇為B

方法為不看自己堆,看另外2堆,若相同則猜自己為另外一種情形(如另2堆皆為A,則猜自己為B),若相異則自己堆皆不猜

共有8種情形

但僅在2種情況下無法猜出,即(A.A.A)和(B.B.B)之情形,出現的機率皆為(1/4)(3/4)(1/2)

而在另外6種情況中一定為2同1異之情形

用上面的方法做

(以下只舉一種情形說明)

若出現(A.B.A)之情形

顯然此時僅有第二堆會作答

而第二堆因為先前的定義

會猜三個人皆為同奇或同偶

故每個人皆猜對

所以無論如何

只要不是在三堆皆相同之情形下

在猜了自己為A或B的情形下皆有辦法猜對

其他情況皆一樣

故機率為1-(1/4)(3/4)(1/2)*2=13/16=0.8125

不太好講

大家討論看看吧

當判斷第一堆要猜B，第二堆要猜A時，要猜奇數還是偶數？

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孫文先 敬上

第一題可否說明:答題者是莊家指定或n人自行決定?

第二題
1. 設F(x)=Ax7＋Bx6＋Cx5＋Dx4＋Ex3＋Fx2＋Gx＋H1,(數字為次方),其中A至H屬於{1,-1}(即正面,反面)
2. F(i)之值屬於{0,2,-2,4,-4}+{0,2i,-2i,4i,-4i}
於是F(i)是一個結合俱封閉性的交換群
3. 對於任意Fs(x)中,1<=s<=256,規定Ft(x)為其置換其中一項後的結果,Ft(x)有8個相異於Fs(x)的表達,且Ft(i)之值仍俱封閉性與相異性,使得本題可解

茲以四枚AaBbCcDd為例,(大寫正面,小寫反面),規定正面表示係數1,反面係數-1,依題意俱有次序性,佐以說明:
設F(x)=Ax3+Bx2+Cx+D1,代入i
ABCD=0
ABCd=-2
ABcD=-2i
AbCD=2
aBCD=2i
ABcd=-2i-2
AbCd=0
AbcD=-2i+2
aBCd=2i-2
aBcD=0
abCD=2i+2
Abcd=-2i
aBcd=-2
abCd=2i
abcD=2
abcd=0
約定:魔術師(心算一定不錯)
1.4正,4反得0或3正得2或3反得-2,代表[1號硬幣];
2.相異得0或3正得-2或3反得2,代表[2號硬幣];
3. 三正得2i或3反得-2i或複數同號,代表[3號硬幣];
4. 3正得-2i或3負得2i或複數異號代表[4號硬幣]
(一定可以調整出來,而不受制於桌面)

EX1:當桌面是ABcD時,助手要表達
1,用ABCD
2,用aBcD
3,用ABcd
4,用AbcD

EX2:當桌面是ABcd時,助手要表達
1,用aBcd
2,用ABCd
3,用Abcd
4,用ABcD

困難在於約定的互補性!
此題應不受限於硬幣個數

請再仔細看一下題目

第一題
每位賭客可自由選擇猜自己的牌是奇數或偶數，也可以選擇PASS不猜。賭客之間彼此不得互相交談，也不得知道別人猜什麼或不猜。


第二題
觀眾將n枚硬幣放在桌面上排成一列，每一枚硬幣朝上或朝下可隨觀眾喜好放置。觀眾也同時任意選1至n中的一個正整數，輕聲告訴魔術師的助手，接著魔術師的助手只能恰好選擇桌面上的一個硬幣將它翻面。魔術師不知道助手翻的是哪一個硬幣，但看一看桌面上的硬幣，竟能準確地猜出觀眾所選的數。請問魔術師與助手事先約定什麼數學策略，使得魔術師能萬無一失地猜中？

1. 觀眾將n枚硬幣放在桌面上排成一列，每一枚硬幣朝上或朝下可隨觀眾喜好放置。
2. 觀眾也同時任意選1至n中的一個正整數，輕聲告訴魔術師的助手。
3. 接著魔術師的助手只能恰好選擇桌面上的一個硬幣將它翻面。

不光只是猜數字而已，請用您的方法舉例說明。

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孫文先 敬上

n=8時以出現正面硬幣位置標記，例如：00xxxxxx，記為A12
取16個2*2的方陣由左上角順時針標註abab,cdcd,efef,ghgh各四組，記為A,B,C,D
重覆上述方法組合ABAB，CDCD各兩組4*4方陣，記為M,N，
再重覆操作一次，由左上角順時針繡mMNMN成8*8方陣如下：
abcdefgh
badcfehg　
cdabghef
dcbahgfe
efghabcd
fehgbadc　
ghefcdab
hgfedcba
以上各行各列均含a,b,c,d,e,f,g,h且成對稱方陣
設a,b,c,d,e,f,g,h代表相異數字，其所在位置以Aij表示
由上可知A12=A21=b
利用上述表示當第1,2硬幣為正面，其餘均反面時，代表數字b
而A11=A22=.....A88=a，代表原本正面經再次翻面後全體硬幣均為反面的情形
如此可將硬幣出現兩枚正面的情形分類如下：
a:均為反面，b:12,34,56,78，c:13,24,57,68，d:14,23,58,67
e:15,26,37,48，f:16,25,38,47，g:17,28,35,46，h:18,27,36,45

1.無正面時，代表數字a
2.設僅出現一枚正面時，依位置1~8分別代表a~f等數字，出現兩枚時則依上述分類判斷
3.正面出現情形成對稱互補時代表同一數字，例如：1234=5678，12356=478
4.d:14,23,58,67代表14=23=58=67，則設再翻動第2面，結果為124=3=258=267
代表出現正面位置分別在(1,2,4),(3),(2,5,8),(2,6,7)四種不同情形時均代表數字c
5.以上述方法，若為2357出現正面，則2357=(23)(57)=(23)(13)=(12)=b
6.若為2357出現正面，依序翻動第1~8時產生以下八種情形
(12357,357,257,23457,237,23567,235,23578)
=(468,357,257,168,237,148,235,146)
=(b,a,d,c,f,e,h,g)

請注意：

觀眾隨意繕w幣並隨意給個數，接著助手必須恰好選擇桌面上的一個硬幣將它翻面，然後魔術師才猜數。

您並未說明各種情況及過程。
建議先由2, 4個硬幣作起。

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孫文先 敬上