僅單枚正面時，依位置排序分別設定1~8數字
雙枚或無正面時，設定如下：
1:均反面(或11~88)
2:12,34,56,78，3:13,24,57,68，4:14,23,58,67
5:15,26,37,48，6:16,25,38,47，7:17,28,35,46，8:18,27,36,45

1.
甲乙觀眾均排出ooxxxxox，甲取數字5，乙取數字8
ooxxxxox=127=1(27)=18=8
助手針對甲觀眾情形翻第4面，使成1274，魔術師可順利根據1274=84=(5)，猜出數字5
助手針對乙觀眾情形翻第1面，使成27，魔術師可順利根據27=(8)，猜出數字8

2.
甲，乙均取數字7，甲排出oooxxoxx，乙排出oxoxxxxx
甲：oooxxoxx=1236=(12)(36)=28=(7)，乙：oxoxxxxx=13=(3)
對甲助手翻第1面，使成236，魔術師根據236=(23)6=46=7，猜出數字7
對乙助手翻第5面，使成135，魔術師根據135=(13)5=35=7，猜出數字7

3.
設排出oxxxxxox，觀眾任意取數字1~8
oxxxxxox=17=(7)
由分類取出1:77，2:78，3:57，4:67，5:37，6:47，7:17，8:27
數字1~8時，助手分別翻第7,8,5,6,3,4,1,2面，魔術師均能輕易猜出數字．
其中1,7情形翻面後呈oxxxxxxx，xxxxxxox，依僅單枚正面設定即可立即看出．

將硬幣各種排列情形以二進位法表示，例如：xxxxoooo=15
依序由第1~8每次翻動一枚硬幣，出現的八種排列情形均可依上述原則判定數字

其結果如下：

0:12345678
1:87654321
2:78563412
3:21436587
4:65872143
5:34127856
6:43218765
7:56781234
8:56781234
9:43218765
10:34127856
11:65872143
12:21436587
13:78563412
14:87654321
15:12345678
16:43218765
17:56781234
18:65872143
19:34127856
20:78563412
21:21436587
22:12345678
23:87654321
24:87654321
25:12345678
26:21436587
27:78563412
28:34127856
29:65872143
30:56781234
31:43218765
32:34127856
33:65872143
34:56781234
35:43218765
36:87654321
37:12345678
38:21436587
39:78563412
40:78563412
41:21436587
42:12345678
43:87654321
44:43218765
45:56781234
46:65872143
47:34127856
48:21436587
49:78563412
50:87654321
51:12345678
52:56781234
53:43218765
54:34127856
55:65872143
56:65872143
57:34127856
58:43218765
59:56781234
60:12345678
61:87654321
62:78563412
63:21436587
64:21436587
65:78563412
66:87654321
67:12345678
68:56781234
69:43218765
70:34127856
71:65872143
72:65872143
73:34127856
74:43218765
75:56781234
76:12345678
77:87654321
78:78563412
79:21436587
80:34127856
81:65872143
82:56781234
83:43218765
84:87654321
85:12345678
86:21436587
87:78563412
88:78563412
89:21436587
90:12345678
91:87654321
92:43218765
93:56781234
94:65872143
95:34127856
96:43218765
97:56781234
98:65872143
99:34127856
100:78563412
101:21436587
102:12345678
103:87654321
104:87654321
105:12345678
106:21436587
107:78563412
108:34127856
109:65872143
110:56781234
111:43218765
112:12345678
113:87654321
114:78563412
115:21436587
116:65872143
117:34127856
118:43218765
119:56781234
120:56781234
121:43218765
122:34127856
123:65872143
124:21436587
125:78563412
126:87654321
127:12345678
128:12345678
129:87654321
130:78563412
131:21436587
132:65872143
133:34127856
134:43218765
135:56781234
136:56781234
137:43218765
138:34127856
139:65872143
140:21436587
141:78563412
142:87654321
143:12345678
144:43218765
145:56781234
146:65872143
147:34127856
148:78563412
149:21436587
150:12345678
151:87654321
152:87654321
153:12345678
154:21436587
155:78563412
156:34127856
157:65872143
158:56781234
159:43218765
160:34127856
161:65872143
162:56781234
163:43218765
164:87654321
165:12345678
166:21436587
167:78563412
168:78563412
169:21436587
170:12345678
171:87654321
172:43218765
173:56781234
174:65872143
175:34127856
176:21436587
177:78563412
178:87654321
179:12345678
180:56781234
181:43218765
182:34127856
183:65872143
184:65872143
185:34127856
186:43218765
187:56781234
188:12345678
189:87654321
190:78563412
191:21436587
192:21436587
193:78563412
194:87654321
195:12345678
196:56781234
197:43218765
198:34127856
199:65872143
200:65872143
201:34127856
202:43218765
203:56781234
204:12345678
205:87654321
206:78563412
207:21436587
208:34127856
209:65872143
210:56781234
211:43218765
212:87654321
213:12345678
214:21436587
215:78563412
216:78563412
217:21436587
218:12345678
219:87654321
220:43218765
221:56781234
222:65872143
223:34127856
224:43218765
225:56781234
226:65872143
227:34127856
228:78563412
229:21436587
230:12345678
231:87654321
232:87654321
233:12345678
234:21436587
235:78563412
236:34127856
237:65872143
238:56781234
239:43218765
240:12345678
241:87654321
242:78563412
243:21436587
244:65872143
245:34127856
246:43218765
247:56781234
248:56781234
249:43218765
250:34127856
251:65872143
252:21436587
253:78563412
254:87654321
255:12345678

2:12,34,56,78，3:13,24,57,68，4:14,23,58,67
5:15,26,37,48，6:16,25,38,47，7:17,28,35,46，8:18,27,36,45

出現多枚正面硬幣時可將其降至兩枚硬幣情形來判斷
例：12367=ooox|xoox，可將其對摺，若有兩對重疊時可抵消之
則12367=ooox|xoox=oxxxxxxx=(1)
或視12367=oooxxoox=xxxooxxo=458=(45)8=(8)8=(1)
在出現兩枚正面時並不需要特別記誦上述分類
魔術師在實際操作時依下述方法可以迅速判斷出數字
1.
(12,13,14,15,16,17,18)=(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8)

2.
13=24=(3)，此時1,3分別換成2,4，此時按1=2,3=4,5=6,7=8來成對互換
例如遇5換成6，遇8換成7，但兩個數字必須同時更換,則(24,23,26,25,28,27)=(13,14,15,16,17,18)=(3),(4),(5),(6),(7),(8)

3.
57=xxxx0x0x可翻面或逆序改成xoxoxxxx=24
(78,68,58,48,38,28)=(12,13,14,15,16,17)=(2),(3),(4),(5),(6),(7)
而(57,67,37,47)逆序成(24,23,26,25)再置換成(13,14,15,16)=(3),(4),(5),(6)
又56=34=12=(2)，因此遇數字較大時可依上述方法先降至數字較小而輕易判斷出來

4.
餘35,46,36,45，而46可逆序或置換成35=(7)，同理45=36=(8)
其中(36,45)此組均為9的倍數，可用來區分，而35為7的倍數，亦容易分辨
如此出現兩枚正面的28種情形均可快速判斷出來

助手在翻面時亦按照上述方法

我是大陆的一名家长，不知道是否可以在这里发表我的看法。希望大家不要觉得扫兴。

我的孩子现在上高二。他从初三开始参加全国数学竞赛。初中的时候是全国金牌。高一继续参加，是铜牌，高二，银牌。高一这一年，他学得非常努力，从实力上来说。他很不错的（在2008年中国西部数学竞赛上拿了金牌）。但是联赛他考得不理想。他备考联赛乃至他高一进行数学学习的整个过程，我都陪伴在左右，虽然我是学中文的，无法理解深奥的数学问题。但是我能从教育学的角度，对孩子的联赛失利以及数学学习中的问题，进行归纳总结。我希望未来这两天，我能有空把它们写下来。或许对各位家长有所帮助。

就我聽到的一些傳聞，大陸的高中聯賽由於涉及保送大學及高考加分，釵h省都曾發生不公平事件，據悉現在的主管單位正謀求改進。
我一向建議要用個人熱愛數學的態度與興趣參加各類數學競賽，而不是為贏取升學的捷徑。

_________________
孫文先 敬上

找個人實際操作幾次您就會發現困難及問題所在。

_________________
孫文先 敬上

1. 有n位賭客與一位莊家對賭..........

用翻硬幣模式來思考，n=7時，每位賭客設未知數A，預設1影子賭客B排序第8，使得n=8
賭客任抽一張非奇數即偶數，偶數可視為硬幣正面，奇數可視為硬幣反面
設七位賭客情形依序排列為ooxoxxx，
將編號1~7賭客所見情形設為
AoxoxxxB,oAxoxxxB,ooAoxxxB,ooxAxxxB,ooxoAxxB,ooxoxAxB,ooxoxxAB(A為本身未知)
則每位賭客所見情形恰為ooxoxxxB依序遮住第1~7枚硬幣所見情形

設AB=xx
則賭客各就(xoxoxxxx,oxxoxxxx,ooxoxxxx,ooxxxxxx,ooxoxxxx,ooxoxxxx,ooxoxxxx)
=(24,13,124,12,124,124,124)=(3,3,3,2,3,3,3)其中第3位賭客所得數字恰為自身編號

設AB=oo，
則賭客各就(ooxoxxxo,ooxoxxxo,ooooxxxo,ooxoxxxo,ooxooxxo,ooxoxoxo,ooxoxxoo)
=(1248,1248,12348,1248,12458,12468,12478)=(6,6,8,6,2,1,4)
其中無人所得數字與自身編號同

若賭客就AB=xx或00得到恰為自身編號，則就原設定AB=xx或oo猜自己是x(奇數)或o(偶數)
但若以AB=xx和oo皆得自身編號，則選擇PASS

如此在128種情形中至少有一人可猜且猜中的情形共104種
104/128=81.25%

猜中機率應該有其他策略可以更高。(我並未驗證您的策略是否正確)

_________________
孫文先 敬上

2:12,34,56,78，3:13,24,57,68，4:14,23,58,67
5:15,26,37,48，6:16,25,38,47，7:17,28,35,46，8:18,27,36,45

有關硬幣問題中助手與魔術師實際操作時，可得一簡單做法如下：

1.
出現兩枚正面硬幣位置分為(1,2,3,4,1,2,3,....)及(5,6,7,8,5,6,7.....)循環
兩數相加等於偶數時，變換時同時往下一數字或同時回到前一數字，
相加等於奇數時，方向相反，其中一數前往下個數字時，則另一數回到上一個數字
例如：
38相加等於奇數，則38=47=16=25=(6)
46相加等於偶數，則46=17=28=35=(7)

2.
兩數均取自1~4其中兩數時,等於另兩個數字組合：12=34,14=23,13=24
兩數均取自5~8其中兩數時,等於99減掉該二位數的餘數：
例如57=99-57=42，68=31，58=41，67=32

3.
當硬幣出現正面位置為12358時
1可省略，以2358來考慮，2358=2341=2323(互相抵消)=(1)

再進一步簡化如下：

助手和魔術師將所見排列情形在腦中默想

當兩枚正面硬幣間隔為奇數時，

1~4依(1,2,3,4,1,2,3...)循環，5~8依(5,6,7,8,5,6,7....)循環同時往中間或同時往兩邊推
當兩枚正面硬幣間隔為偶數時，
兩枚硬幣同時依循環同時往左或往右移動
右邊一枚推至1時可視為自動翻為反面
當硬幣出現正面位置為12358時，視為2358
1.
2358:(23)往兩邊推成(14)=4，成458，再將(45)往中線推擠成(18)=8，458成188=(1)
2.
2358:(28)同時往右移成17，2358成357，35同時往左移兩步成17，357成177=(1)

比較困難是助手部份,要將原排列情形先在腦中判斷後再決定翻動其中一枚硬幣,但操作幾次後即可順手

賭客一題修正如下：
以o代表偶數，x代表奇數
設七位賭客情形依序排列為ooxoxxx，在末尾加上x，使n=8成ooxoxxxx
將其排列情形可代換成硬幣數字編碼
七位賭客奇偶情形依序為a,b,c,d,e,f,g
b所見情形為obxoxxx，將其設為oxxoxxx和xbxxxxx所組成
設前者排列代表數字B，後者代表數字B'
則各依所見情形，必有AA'=BB'=CC'=DD'=EE'=FF'=GG'=k
將a分別以x,o代入得到兩個結果
aoxoxxxx=(xoxoxxxx)(axxxxxxx)，k=(31,31)=(3,3)
obxoxxxx=(oxxoxxxx)(xbxxxxxx)，k=(31,42)=(4,3)
oocoxxxx=(ooxoxxxx)(xxcxxxxx)，k=(31,33)=(3,1)
ooxdxxxx=(ooxxxxxx)(xxxdxxxx)，k=(21,24)=(2,3)
ooxoexxx=(oox0xxxx)(xxxxexxx)，k=(31,35)=(3,7)
ooxoxfxx=(ooxoxxxx)(xxxxxfxx)，k=(31,36)=(3,8)
ooxoxxgx=(ooxoxxxx)(xxxxxxgx)，k=(31,37)=(3,5)
由上可知每位均至少得到k的一個正確值
其中a可保證確知k值，但無法得知自己為o或x，亦無法將結果告知其他賭客
a~g編號第n個得到k=(n,1)或(1,n)，其中n > 1
則分別以前者k=n判斷出真正排列情形
則賭客據以推算自己為x(奇數)或o(偶數)
k=1~8時，各個k值分別產生128/8=16種排列情形
k=2~7時，僅第k位賭客符合(k,1)或(1,k)，由其代表猜出
k=1時，有一半(8種)無法準確猜得
k=8時由第1名賭客代表，有一半(8種)無法準確猜得
128-16=112，112/128=87.5%

將7名賭客分別就原排列情形逐以每位以x或o替代，所得結果如下：

xxxxxxx:(1111111),(1234567)
xxxxxx0:(7777771),(7856347)
xxxxx0x:(6666616),(6587264)
xxxxx00:(4444476),(4321844)
xxxx0xx:(5555155),(5678523)
xxxx0x0:(3333735),(3412383)
xxxx00x:(2222652),(2143228)
xxxx000:(8888432),(8765888)
xxx0xxx:(4441444),(4324876)
xxx0xx0:(6667664),(6586216)
xxx0x0x:(7776747),(7857371)
xxx0x00:(1114167),(1231511)
xxx00xx:(8885488),(8768832)
xxx00x0:(2223628),(2142252)
xxx000x:(3332783),(3413335)
xxx0000:(5558123),(5675555)
xx0xxxx:(3313333),(3432785)
xx0xxx0:(5575553),(5658125)
xx0xx0x:(8868838),(8785482)
xx0xx00:(2242258),(2123622)
xx0x0xx:(7757377),(7876741)
xx0x0x0:(1131517),(1214161)
xx0x00x:(4424874),(4341446)
xx0x000:(6686214),(6567666)
xx00xxx:(2243222),(2122658)
xx00xx0:(8865882),(8788438)
xx00x0x:(5578525),(5655153)
xx00x00:(3312385),(3433733)
xx000xx:(6687266),(6566614)
xx000x0:(4421846),(4344474)
xx0000x:(1134561),(1211117)
xx00000:(7756341),(7877777)
x0xxxxx:(2122222),(2243658)
x0xxxx0:(8788882),(8865438)
x0xxx0x:(5655525),(5578153)
x0xxx00:(3433385),(3312733)
x0xx0xx:(6566266),(6687614)
x0xx0x0:(4344846),(4421474)
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