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孫文先
Moderator
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|  環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題 |  | ※ 每題必須詳細寫下證明及理由，只寫答案不一定有分數。
1. 有一台兌換機可將L國幣1元兌換成M國幣S元，亦可將M國幣1元兌換成L國幣1/S 元，其中S是正實數。兌換機吐出的金額採四捨五入至整數元。
(a) 用此機器將若干L國幣兌換成M國幣，再將所換到的M國幣全部換回L國幣。請問經過一次上述兌換後，最後所得的L國幣是否有可能比原來的錢多？（二分）
(b) 假設上述的答案為「可能」，將手中所有的錢幣不斷地全部一起反覆兌換。請問所得的錢是否有可能會不斷地增多？（三分）
2. 有一個凸四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，且其相交於點O。已知三角形AOB、三角形COD的內切圓半徑之和等於三角形BOC、三角形DOA的內切圓半徑之和。
(a) 請證明四邊形ABCD有內切圓。（二分）
(b) 請證明四邊形ABCD對稱於其中一條對角線。（三分）
3. 一座警察局位於兩端都可無限延伸僅有的一條直線公路上，一位小偷從警察局偷了一輛汽車。這輛汽車的最大速度等於巡邏警車最大速度的90%。當大家發現車子被偷了，一位警察打算開巡邏警車去緝捕這位小偷，但他不知道小偷沿著公路朝哪個方向逃跑。請問警察是否有數學的策略保證能緝捕到小偷？請詳述您的理由。(註：此題純為數學問題，不考慮小偷何時偷車、油料多寡、人的壽命、….等各項因素)（五分）
4. 將一塊大正方形木板以n－1條水平線與n－1條鉛垂線劃分為 個小矩形。將這些小矩形格子黑白相間塗色。若此大正方形的某一對角線恰好通過n個黑色的正方形。請證明所有黑色的小格子之總面積不小於所有白色小格子之總面積。（五分）
5. 有一項競賽共有55位參賽者，每場比賽都由兩位選手配對進行淘汰賽，且一場賽完後才接著賽下一場，輸者立即被淘汰出局。每場比賽中，兩位配對的選手截至此場比賽前之勝局數量之差都不得超過1局。請問此競賽中的獲得冠軍之選手最多共可贏多少局？（五分）
《成績是取最高得分三題的總和，考試時間四小時。》
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孫文先 敬上
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| 2010-11-19 10:39 |   |
孫文先
Moderator
註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094
| | Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題 | | 第三題至少有六人答: 地球是圓的, 所以可能.
用腦筋急轉彎方式來解數學題不僅無益反而有害.
熱愛數學的學生不應該如此輕蔑.
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孫文先 敬上
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| 2010-11-19 21:06 | |
WENDYCHI
Home away from home
註冊日: 2007-08-27
發表數: 987
^^^ ( ^_^ |||) ^^^
| | Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題 | | 第一題的兌率可以是1.99999...嗎?
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BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
B-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NN
BBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N
超混的俱樂部成員
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| 2010-11-19 22:33 | |
wade1537
Just can't stay away
註冊日: 2010-01-20
發表數: 84
| | Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題 | | 第3題說的不考慮小偷偷車的時間，那是指時間點，還是指小偷比警察早走的時間？
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我不是數學高手，但我對數學有濃厚的興趣，
若想法錯誤，還請高手見諒並指點之。
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| 2010-11-20 08:47 | |
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home
註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市
|  Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題 | | 1.(a)假設S=2/3
那麼一開始將3/2元的L國幣投入兌換機,可得1元M國幣
再將此1元M國幣投入兌換機,可得2元的L國幣
最後所得的L國幣比原來的還多(2>3/2),故答案為可能
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思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得
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| 2010-11-20 21:24 | |
孫文先
Moderator
註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094
| | Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題 | |
S=1/2不是較簡單.
引文:
zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
1.(a)假設S=2/3
那麼一開始將3/2元的L國幣投入兌換機,可得1元M國幣
再將此1元M國幣投入兌換機,可得2元的L國幣
最後所得的L國幣比原來的還多(2>3/2),故答案為可能
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孫文先 敬上
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| 2010-11-21 10:16 | |
孫文先
Moderator
註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094
| | Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題 | | 當然是指小偷比警察早走的時間.
引文:
wade1537 寫道:
第3題說的不考慮小偷偷車的時間，那是指時間點，還是指小偷比警察早走的時間？
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孫文先 敬上
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| 2010-11-21 10:18 | |
孫文先
Moderator
註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094
| | Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題 | | S當然可以任意自訂.
引文:
WENDYCHI 寫道:
第一題的兌率可以是1.99999...嗎?
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孫文先 敬上
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| 2010-11-21 10:19 | |
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home
註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市
| | Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題 | | 也是啦,不過我的原想法為:
取S和投入的L國幣金額x互為倒數
這樣最後出來的即是將x四捨五入的L國幣金額
故隨便取一個會進入而非捨去的數1.5,即x=3/2,而S=2/3
另外,圓外切四邊形的逆定理是否成立??
引文:
S=1/2不是較簡單.
引文:
zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
1.(a)假設S=2/3
那麼一開始將3/2元的L國幣投入兌換機,可得1元M國幣
再將此1元M國幣投入兌換機,可得2元的L國幣
最後所得的L國幣比原來的還多(2>3/2),故答案為可能
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| 2010-11-21 18:22 | |
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home
註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市
| | Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題 | | 第一題的(b)好難
第5題雖然還沒算,但我想應該跟55=1+2+3+...10有關
2.由直角三角形內切圓的半徑=(兩股和-斜邊)/2
可根據題意列式:
(AO+BO-AB)/2 + (CO+DO-CD)/2=(BO+CO-BC)/2 + (AO+DO-AD)/2
整理可得AB+CD=BC+AD------(1)
AB^2 + CD^2=(AO^2 + BO^2)+(CO^2 + DO^2)=
(BO^2 + CO^2)+(AO^2 + DO^2)=BC^2 + AD^2------(2)
[(1)^2 - (2)]/2 => ABxCD=BCxAD
設AB+CD=BC+AD=p,ABxCD=BCxAD=q
則AB,CD和BC,AD的長度皆為x^2-px+q=0的兩根
可知AB=BC,CD=AD或AB=AD,CD=BC
從而四邊形ABCD為箏形,故(a),(b)皆獲證
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| 2010-11-21 23:39 | |
