我以0,1,2,3,0為例好了。

中間三項1*2*3 (mod 4)=2，剩下的問題就是如何處理那兩個0。

令第一項為q * 2^k，q為奇數，因為q * 2^k (mod 4)=0，所以第五項為q * 2^k+4 = 4 * (q * 2^(k-2) -1)。

現在把第一和第五項乘起來，q * 2^(k+2) * (q * 2^(k-2) -1)為三個因子的乘積，顯然第一個因子和第三個因子為奇數，則q * (q * 2^(k-2) -1) (mod 4)=1或3。

最後只要處理第二個因子(2^(k+2))就好了。如果k是偶數，則此因子為完全平方數，故餘下的因子也必須為完全平方數此五項的乘積才會是完全平方。但"剩下的東西" (mod 4)=2*1或2*3不等於0或1，所以不可能為完全平方，矛盾。如果k是奇數，2^(k+2)=2^(k+1) * 2。又2^(k+1)為一平方數，可以提出，"餘下的因子" (mod 4)=2*1或2*3，同理矛盾。

其他3種情形用類似的方法，碰到剩下的數(mod 4)=0就想辦法提出完全平方的因子，再對剩下的數下手。這種方法雖然相當麻煩，也不是很漂亮，但可以說是證明"非完全平方數"題目的通解，值得瞭解一下。

連續5個正整數乘積是平方數 僅當 5^(2n) 是
這5個數 其中一個~
很顯然
又
[5^(2n)+4]，[5^(2n)+3]，[5^(2n)+2]，[5^(2n)+1]
[5^(2n) - 4]，[5^(2n) - 3]，[5^(2n) - 2]，[5^(2n) - 1]
都不會是平方數

因此對所有正整數 n
要能下面這5個數都不是平方數
[5^(2n)+4]*[5^(2n)+3]*[5^(2n)+2]*[5^(2n)+1]

[5^(2n)+3]*[5^(2n)+2]*[5^(2n)+1]*[5^(2n) - 1]

[5^(2n)+2]*[5^(2n)+1]*[5^(2n) - 1]*[5^(2n) - 2]

[5^(2n)+1]*[5^(2n) - 1]*[5^(2n) - 2]*[5^(2n) - 3]

[5^(2n) - 1]*[5^(2n) - 2]*[5^(2n) - 3]*[5^(2n) - 4]


那麼才可以完全證明
連續 5 個 正整數都不是 平方數~

認同

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欲速則不達

設五個自然數為n-2,n-1,n,n+1,n+2
(n≧3)他們的乘積N=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)是平方數
若有質數p≧3, p | n,那麼p不整除(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2).因為N是平方數,∴ P^2k | n(k是自然數),
設n=2m^2,(若n中2的冪次為奇數)或n=m^2(若n中2的冪次為偶數),這裡m是自然數.∵(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
=n^4-5n^2+4,而(n^2-3)^2＜n^4-5n^2+4＜(n^2-2)^2.
在兩個相鄰整數的平方之間不存在平方數,所以n^4-5n^2+4不是平方數,∴n≠m(否則N不是平方數).
當n=2m^2時,N=8m^2(m^2-1)(m^2+1)(2m^2-1)(2m^2+1)=(2m)^2乘2(m^2-1)(m^2+1)(2m^2-1)(2m^2+1)注意到2m^2-1,2m^2+1是奇數,上式表明
(m^2-1)(m^+1)應當是偶數(否則N不可能是平方數),
可現m是奇數,即2不整除m.
在2不整除m,3| m時,n-1與n-2,n+1,n+2互質,
n-1就應當是平方數.同理n+1也是平方數,
於是n-1=k^2,n-2=h^2,(h-k)(h+k)=2.這是不可能的.
可見3不整除m, 在2不整除m, 3不整除m時,
設=6t正負1,(t為自然數),這時m^2=12t(3t正負1)+1=12k+1,其中k=t(3t正負1),這時N=m^2乘24^2乘
k(6k+1)(8k+1)(24k+1).因此k(6k+1)(8k+1)(24+1)應當是平方數.又因為k,6k+1,8k+1,24k+1兩兩互質,
可見,他們都應當是平方數,因而4(6k+1)=24k+4
是平方數.因為24k+4與24k+1均為平方數,只能k=0
與k≧ 2矛盾
綜上所證之:任意五個連續自然數之積不是完全平方數

打的手好累

這個問題的廣義型式為：
當n>1時，任意連續n個正整數的乘積不為完全平方數。

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傍晚的天空捎來了絕望的信息，灰濛濛的就這樣下起了一場悲劇。

還可以更廣義

任意連續正整數相乘

都不是平方以上的冪

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