證明: 1+1=2 數學科洪士薰老師
1. 先瞭解peano 公設：所謂自然數,就是滿足下列條件,
1.一集合N 中,有元素n,及後繼元素n+,n+與n 對應.
2.元素e 必定屬於N 中.
3.元素e 在N 中不為任一元素的後繼元素.
4.N 中的元素,a+=b+則a=b.(元素唯一)
5.(歸納公設)S 為N 的子集,e 屬於S,n 屬於S,n+也屬於S.那麼S=N.
N 就是我們說的自然數集合.
其中我們規定e:=1, e+:=2, (e+)+:=3,.....以此類推.
2. 再來定義加法,
加法(+)為一函數,這函數滿足兩個條件
1.(+)(n,e)=n+ 寫成大家熟悉的式子1.n(+)e=n+
2.(+)(n,m+)=((+)(n,m))+ 2.n(+)m+=(n(+)m)+
滿足上面條件的函數(+),我們稱為加法+.(+):=+
滿足這兩條件的函數是可以證明存在且唯一：證明如下
因為(+)(e,e)=e+
e(+)e=e+
所以1+1=2 得證.
存在：
e, e+ ,(e+)+,…… 即所有自然數
唯一：
"nÎN，
+(n,e)=n+
+(n,e+)=(+(n,e))+
+(n,e+)+)=………
故(+)存在且唯一
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上述證明翻成白話文如下：
自然數系依加法運算分別是：1，1+，(1+)+，……。而這些1+，（1+）+，…就用符號2，3，…
表示，所以1 + 1指的是1後面那一個數字，也就是1+，自然就是2。
為什麼會有Peano 公設，及定義加法，這起源於十九世紀末，二十世紀初，Hibert，Brouwer，
因物理上狹義相對論，及量子論推翻了物理舊基礎，而數學家們因此想證明，數學是有堅固基礎，
是不變的真理。所以希望能從邏輯上建立一個完整、嚴密的基礎，於是第一個當然針對自然數系開
始，希望能像歐氏幾何一樣，從基本公設，經由邏輯就可以得到完整的自然數系性質，所以歸結出
Peano 五個公設（其實後人把它進一步歸結成三個），而羅素與他的老師懷海德合寫
三大卷，就是做了一部份工作。Hilbert 擬了一連串計畫要把數學的基礎轉化成邏輯，這樣一來，
數學家就可以宣稱「數學是真理」。不幸的是，1929年Godel 23歲時證明了一個定理：
不完全性定理：
如果有一個系統包含算術，而且這一系統的基本假設並不會互相矛盾，那麼這個系統中
一定存在一個命題，這一個命題的肯定或否定都無法證明。
所以數學並不只是邏輯。當然「1 + 1 = 2」的證明是否很有意義，可以從Godel的定理來看看。
不管如何，亞里斯多德說：「知識始於驚奇」，若有興趣不妨去看看下面的書：
1. 希爾伯特的23個數學問題（天下文化）：第五章。
2. 哥德爾不完全性定理（九章）。
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