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|  Re: 平方數 |  | a^2+b^2+c^2=2x^2+2y^2+2z^2
(a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+ac+bc)
a+b+c=偶數
a,b,c 3數中可能 1.皆為偶數
2.2數為奇數,1數為偶數
得到的結果是都不合(懶得寫了)所以無解 |
| | 2006-05-15 22:01 | | 訪客
| | Re: 平方數 | | 引文:
寫道:
a^2+b^2+c^2=2x^2+2y^2+2z^2
(a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+ac+bc)
a+b+c=偶數
a,b,c 3數中可能 1.皆為偶數
2.2數為奇數,1數為偶數
得到的結果是都不合(懶得寫了)所以無解
因為"(a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+ac+bc)"
不管x,y,z之值為何,a+b+c均為偶數
但"a+b+c=偶數",應無法直接判斷x,y,z無解
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| | 2006-05-15 23:35 | | 訪客
| | Re: 平方數 | | ∵
a^2=x^2+y^2
b^2=y^2+z^2
c^2=z^2+x^2
∴
a^2+b^2+c^2=2(x^2+y^2+z^2)
∴
(a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)
∴a+b+c=√2 (x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)
又a,b,c與x,y,z皆為正整數
a+b+c=正整數不可能等於√2乘以正整數
∴無解
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| | 2006-05-16 18:54 | | 訪客
| | Re: 平方數 | | 更正
∵
a^2=x^2+y^2
b^2=y^2+z^2
c^2=z^2+x^2
∴
a^2+b^2+c^2=2(x^2+y^2+z^2)
∴
(a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)
∴a+b+c=√2 (x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)
又a,b,c與x,y,z皆為正整數
a+b+c=正整數不可能等於√2乘以正整數
∴無解
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| | 2006-05-16 18:57 | | linian
Home away from home
註冊日: 2005-11-07
發表數: 292
| | Re: 平方數 | | 引文:
寫道:
(a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)
∴a+b+c=√2 (x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)
這不對吧，因為在根號時沒有把
(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)算進去
如果 (x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)=2*k^2
結果就成立了
_________________
KH~~
この空がつなぐ世界で
辿り𤥢く場所は
一緒だと信じています
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| | 2006-05-16 19:46 |    | frog
Just can't stay away
註冊日: 2006-02-28
發表數: 114
| | Re: 平方數 | | 引文:
linian 寫道:
引文:
寫道:
(a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)
∴a+b+c=√2 (x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)
這不對吧，因為在根號時沒有把
(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)算進去
如果 (x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)=2*k^2
結果就成立了
在下贊同您的看法
若(a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)
則a+b+c=[2(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)]^(1/2)
除非有辦法證明右式不可能為正整數
否則a,b,c仍有可能為正整數
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| | 2006-05-16 23:36 | | 訪客
| | Re: 平方數 | | 在此提出個人的解法
因 為
(a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)
所以
a,b.c三個數必為三偶或兩奇一偶
若為三偶則x,y,z也為三偶
因為奇數平方加奇數平方不可能成為一個偶數的平方(簡單証明,請自行處理)
所以方程組所有的數皆為偶數,故方程組兩邊可同除4,直至任一邊有奇數出現,此時情形只有一種必為
奇^2=奇^2+偶^2
奇^2=奇^2+偶^2
偶^2=偶^2+偶^2
所以此時x,y,z為兩奇一偶
代回 (a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)
得到
偶^2=2*(奇^2)
4*(某數^2)=2*(奇^2) 兩邊同除2得
2*(某數^2)=(奇^2)
得到 偶=奇
故矛盾,此方程組無整數解 |
| | 2006-05-17 09:50 | | 訪客
| | Re: 平方數 | | 打錯了一個地方,重新更正
在此提出個人的解法
因 為
(a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)
所以
a,b.c三個數必為三偶或兩奇一偶
若為三偶則x,y,z也為三偶
因為奇數平方加奇數平方不可能成為一個偶數的平方(簡單証明,請自行處理)
所以方程組所有的數皆為偶數,故方程組兩邊可同除4,直至任一邊有奇數出現,此時情形只有一種必為
奇^2=奇^2+偶^2
奇^2=奇^2+偶^2
偶^2=偶^2+偶^2
所以此時x,y,z為兩偶一奇
代回 (a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)
得到
偶^2=2*(奇^2)
4*(某數^2)=2*(奇^2) 兩邊同除2得
2*(某數^2)=(奇^2)
得到 偶=奇
故矛盾,此方程組無整數解
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| | 2006-05-17 09:53 | | 訪客
| | Re: 平方數 | | 對不起
上述的証明是錯的
我再思考看看 |
| | 2006-05-17 10:25 | | aa963854116
Home away from home
註冊日: 2006-01-06
發表數: 392
從未發現之89號星座
| | Re: 平方數 | | 沒想到一個題目卻引起這麼大的討論
"個人"認為基偶性比較可行
但~~怎麼證呢?
希望大家幫忙想想!! |
| | 2006-05-17 19:14 | |
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