任意正整數x,y. 其中x≦y,將x寫在黑板之左側,將y寫在黑板之右側. 小王對黑板上的兩個數依序進行以下之操作: (1)將x^2寫在筆記本上; (2)將黑板左側的數替換成x與y-x中較小(或相等)者,將黑板右側的數替換成x與y-x中較大(或相等)者. 小王繼續上述操作,直到黑板上出現一個數等於0為止. 請問最後小王筆記本上所寫下的數的和是多少? (四分)
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答案是xy. 我分五個證明(一).當x=y時(二).當x+k=y且x>k且k整除x(三).當x+k=y且x>k且k不整除x(四).當x+k=y且k>x且x整除k(五).當x+k=y且k>x且x不整除k第一個得到xy 其他都得到(x+k)x也是xy得證
我也差不多就是利用數學歸納法從結果倒推至x、y
這提的答案很好找出來，但是過程比較麻煩不容易寫
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linian 寫道:這提的答案很好找出來，但是過程比較麻煩不容易寫[/quote}所以答案呢引文:引文:
引文:
樓上的你說什麼阿?我聽不懂
我有想到兩種寫的方法拉~~第一個是用數歸(x+y=2時成立→對於所有x+y小於等於k成立，討論x+y=k+1)第二個是用算長方形的面積方法給出一個新的計算方法，恰好與小王(誰呀?)寫在筆記本上的數字有所關聯。
arsene996655 寫道:樓上的你說什麼阿?我聽不懂
目前有三種解法1.針對操作次數做數學歸納法。2.將x, y輾轉相除。3.(根據新竹實驗中學江盛浩的想法)將題目視為每次從邊長為x, y的矩形中切除一個邊長為矩形較小邊的正方形。
_________________孫文先 敬上
輾轉相除可行嗎？我在考試時也是以輾轉相除來做算出答案後，靠輾轉相除似乎也沒辦法證明？可以說明一下利用輾轉相除法的話應該如何證明嗎？謝謝孫老師！
