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k891619
Just popping in



註冊日: 2007-02-11
發表數: 17


 數論證明

試證991^991+993^993能被1984整除

 2007-10-13 13:56個人資料
ttoomm916
Not too shy to talk



註冊日: 2007-08-25
發表數: 21


 Re: 數論證明

試試:991^991+993^993
=993^991(993^2-991^2)+991^991+993^991*991^2
=991^2(991^989+993^991) mod1984

 2007-10-13 21:52個人資料
cfc21
Just popping in



註冊日: 2007-03-28
發表數: 14


 Re: 數論證明

1984=31*64
1.991^991+993^993同餘(-1)^991+(1)^991同餘0 (mod 31)
2.991同餘31 (mod64) → 991^2同餘31^2同餘1 (mod64)
993同餘33 (mod64) → 993^2同餘33^2同餘1 (mod64)
故991^991+993^993=991*991^990+993*993^992
同餘31*1^495+33*1^496
同餘31+33=64
同餘0 (mod 64)

故原式同時為31的倍數及64的倍數,即為1984的倍數

 2007-10-14 02:12個人資料拜訪網站
bubupin
Home away from home



註冊日: 2007-03-13
發表數: 353


 Re: 數論證明

ttoomm916提供的解法乃是連續提出991^2,
經操作後剩下991+993^3,如此可被1984整除

在此也提供三個作法,供做參考
1.
991^2=(992-1)^2=992^2-2*992+1=1984(496-1)+1
同理993^2=1984(496+1)+1
因此991^991+993^993=(991^2)^495*991+(993^2)^496*993
除以1984的餘數為可視為(991+993)除以1984,可整除

2.
n為奇數時,x+y|x^n+y^n,x-y|x^n-y^n
991^991+993^993
=(991^991+993^991)+(993^993-993^991)
=1984A+993^991(993^2-1)
=1984A+993^991(993+1)(993-1)
=1984A+993^991*(497)*(1984)
=1984A+1984B=1984(A+B)
故991^991+993^993可以被1984整除

3.
本題屬特例,在2次方後餘數即呈規律循環
但最好的做法還是先將被除數和除數分別因式分解
1984=2^6*31,991與2,31互質
2^(6-1)=32,故991^32(mod 64)=1,另991^30(mod 31)=1
[32,30]=480,故991^480(mod 1984)=1
但因2|480,檢驗得知991^2(mod 1984)=1
同理993=3*331,分開討論後得知結果相同
因此(991^991+993^993)(mod 1984)
=(991+993)(mod 1984)=0

當然這個方法看來繁複,但適用所有被除數與除數較複雜情況,尤其當被除數和除數經因式分解後,彼此間含其他共同質因數,在考慮餘數時其次數不得做約分互消,此時就不能用前兩種方法取巧

4.吃晚嶽氶A有幸碰到神豬,向他討教此題,他不假思索告訴我解法,重重擊了我一拳
  991(mod 1984)= - [993(mod 1984)]
因此(991^991+993^993)(mod 1984)
=993^991(993^2-1)(mod 1984)
=993^991(993+1)(993-1)(mod 1984)=0

 2007-10-14 05:49個人資料
bubupin
Home away from home



註冊日: 2007-03-13
發表數: 353


 Re: 數論證明

  cfc21的解法踏到人多數人的痛苦點,那就是當詳細去解剖問題時,會讓人不想去碰問題,因為頭會破掉,同時脫殼好幾次.也會發現更多讓人懶得去碰的問題.
  在網友learing提出1^2006+2^2006+.....9^2006=?問題時,我曾經就a^2006要求神豬探討餘數的循環規律,頗有收穫,今將心得略舉一例分享如下.

1.
設a為小於p且與p互質的自然數,m與p互質,則am(mod p)之所有數必為所有a值的一個排列
證明:設A={r1,r2,r3,.....rp-1},A為小於p的自然數除以p所得之餘數集合.
a為A之元素,則am(mod p)所得之數必屬A之元素之一
設b亦為A中元素,且a不等於b,若am=bm(mod p),則(a-b)m=0(mod p),
因m,p互質,故a=b(mod p),而a,b均小於p,故a=b,與假設矛盾,
故am(mod p)之所有數必為所有a值的一個排列

2.
設a為小於p且與p互質的自然數,則a^(p-1)(mod p)=1
證明:設A={r1,r2,r3,.....rp-1},A為小於質數p的自然數除以p所得之餘數集合,a與p互質
則ar1*ar2*ar3*.......arp-1(mod p)=a^(p-1)*r1*r2*r3*......rp-1(mod p)
故a^(p-1)(mod p)=1
如果你對1,2點沒有興趣,那只要曉得a^(p-1)(mod p)=1就可以,問題是你能夠忍受一知半解嗎?

3.
對於質數p,設自然數a小於p-1且不等於1,a與p互質,已知a^(p-1)(mod p)=1
考慮p-1的因數m,在a^m時可能成立a^m(mod p)=1,特別在m=(p-1)/2的情形下
a^m(mod p)可能為1或-1,以p=59舉例說明如下:
已知a=1,2,3.......58時,a^59除以59的餘數均為1,但a^29除以59的餘數可能為1,或58
在此將餘數1或58改成1或-1,就a=1,2,3.......58時,討論a^29除以59的餘數

方法:令m(a)=1或-1,m(a)為a^29除以59的餘數
1.a^59=(a^29)^2,故[m(a)]^2=1
2.m(59k+a)=m(a),m(59k-a)=-m(a),當k=1時,m(59+a)=m(a),m(59-a)=-m(a)

我們取a=64,60先求出m(5)與m(3)
m(5)=m(64)=(m(2))^6=1,故5^29除以59的餘數為1
m(60)=1,[m(2)]^2*m(3)*m(5)=1,m(3)=1,故3^29除以59的餘數為1
接下來我們求m(2),亦即2^29除以59的餘數
m(32)=-m(27),因[m(2)]^2=[m(3)]^2=1,故m(2)=-m(3)=-1
故2^29除以59的餘數為58
如此,我們可應用以上方法陸續求出a^29除以59的餘數
整理a=1~29時m(1)=1,m(2)=-1,m(3)=1,m(4)=1,m(5)=1,m(6)=-1,
m(4)=m(63)=m(7)=1,故m(7)=1,m(8)=-1,m(9)=1,m(10)=-1,
m(11)=-m(48)=-1,m(12)=1,m(13)=m(52)=-m(7)=-1,m(14)=-1,
m(15)=1,m(16)=1,m(17)=-m(42)=1,.............................,
m(29)=-m(30)=-m(2)*(m3)*m(5)=1
m(30)=-m(29),a=30~59餘數與a=1~29成對稱負餘關係
輔助VBA程式如下:使用一個按鈕執行程式並使用一個列表框(listbox)輸出結果

for i=1 to 58
k=1
for j=1 to 29
k=k*i
k=k-59*int(k/59)
next
if k=58 then k=-1
listbox1.additem str(i)+":"+str(k)
next

輸出結果如下:
1:1
2:-1
3:1
4:1
5:1
6:-1
7:1
8:-1
9:1
10:-1
11:-1
12:1
13:-1
14:-1
15:1
16:1
17:1
18:-1
19:1
20:1
21:1
22:1
23:-1
24:-1
25:1
26:1
27:1
28:1
29:1
30:-1
31:-1
32:-1
33:-1
34:-1
35:1
36:1
37:-1
38:-1
39:-1
40:-1
41:1
42:-1
43:-1
44:-1
45:1
46:1
47:-1
48:1
49:1
50:-1
51:1
52:-1
53:1
54:-1
55:-1
56:-1
57:1
58:-1
  

後記:
  即使在求學時代對數學有點基礎,在面對以上的問題也是從一無所知,因著這個機會而能有進一步的接觸,或釦A對討論這樣的題目沒有興趣,但請找出原因,為什麼喜歡數學的您,對於未知的領域,失去了好奇與衝動.

  如果一位僅有國小程度的年輕人,他會開車,有一天他帶著他的車回到幾千年的時代,或野L就是那個時代的資優生,或者被當成神,只要他不說出秘密,沒有人會懂得如何去駕駛車輛,甚至他不交出發動時所需的鑰匙,則沒有人曉得這個最開始的關鍵.

  這就是我樂於分享孩子學習過程的原因,我們原可默默自得其樂,但我們明白到,學習方法的改變與教育方法的重要,使得我們的孩子比起以前的人更加優秀,同時一些普通的孩子,也可以在花費較少的時間,比別人看起來懂得多,其中並沒有什麼值得誇耀之處.

 2007-10-14 17:40個人資料


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