一個正整數等於其四個最小正因數的平方和問可以整除該正整數的最大質數為何這題好難 不會算
一.利用奇偶性證明此數為2的倍數二.利用奇偶數的平方的特性證明此數不為四的倍數三.令此數=2*(奇合數)=2*(pq),其中p為質數且p小於q 證明p不為3且p=5四.最後證明此數=1^2+2^2+5^2+10^2=130,大尼i成故答案為13
crazytrquan提到:令此數=2*(奇合數)=2*(pq),其中p為質數且p小於q證明p不為3且p=5應修正為:1^2+2^2+p^2+q^2=5+p^2+q^2=2的倍數,故p,q必為一奇一偶因該數已排除是4的倍數,因此p,q應分別為下一個奇質因數k與一合數2k設該數為2km如此,5+k^2+(2k)^2=2km5k^2-2mk+5=0判別式4m^2-100=4(m^2-25)必須為完全平方數設m^2-25=n^2則m^2-n^2=25解m+n=5,m-n=5,則m=5,n=0,代入求得k=1,不合解m+n=25,m-n=1,則m=13,n=12,代入求得k=5該正整數為2*5*13因此可以整除該正整數的最大質數為13
笑哥 寫道:設該數為2km如此,5+k^2+(2k)^2=2km5k^2-2mk+5=0判別式4m^2-100=4(m^2-25)必須為完全平方數設m^2-25=n^2則m^2-n^2=25解m+n=5,m-n=5,則m=5,n=0,代入求得k=1,不合解m+n=25,m-n=1,則m=13,n=12,代入求得k=5該正整數為2*5*13因此可以整除該正整數的最大質數為13
能詳細證明此數為2的倍數,且不為4的倍數嗎? 謝謝
crazytrquan提到二.利用奇偶數的平方的特性證明此數不為四的倍數因1^2+2^2+a^2+b^2=偶數,故a,b必為一奇一偶令a=2m,b=2n+11^2+2^2+4m^2+4n^2+4n+1=4(m^2+n^2+n+1)+2故此數不為四的倍數
但為何此數為2的倍數?謝謝
一.利用奇偶性證明此數為2的倍數假設此數不為偶數,則其所有因數均為奇數則四個最小因數之平方和必為偶數與假設矛盾,故此數必為偶數,亦即必為2的倍數