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vic526tor
Just can't stay away



註冊日: 2008-05-17
發表數: 86


 方程式

解方程:(x^4+2)(y^4+3)(z^4+6)=48*(xyz)^2
我沒有解答 但是知道要用不等式解且有8組解

 2008-08-07 21:56個人資料
笑哥
Just can't stay away



註冊日: 2007-11-14
發表數: 76


 Re: 方程式

令x^2=a,y^2=b,z^2=c
乘開後可配方得(abc-6)^2+6(ab-c)^2+3(ac-2b)^2+2(bc-3a)^2=0
故abc=6,ab=c,ac=2b,bc=3a
因a,b,c均為正數,(a,b,c)=(2^1/2,3^1/2,6^1/2)
故(x,y,z)=(2^1/4,3^1/4,6^1/4),.........共八組解

 2008-08-08 01:18個人資料
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 方程式

先考慮正解:令xx、yy、zz=a、b、c
原式:(aa+2)(bb+3)(cc+6)=48abc
由算-幾不等式得:(aa+2)/2≧√(2aa),aa+2≧2√2a
同理bb+3≧2√3b,cc+6≧2√6b
故(aa+2)(bb+3)(cc+6)≧(2√2a)(2√3b)(2√6c)=48abc
以上各式等號成立於當且僅當(a,b,c)=(√2,√3,√6)時
考慮正負解,得(x,y,z)=(±√√2,±√√3,±√√6),共2^3=8組解
後註:上面為實數解(題目這裡沒說清楚),複數解則有8*2=16組解

 2008-08-08 08:42個人資料
vic526tor
Just can't stay away



註冊日: 2008-05-17
發表數: 86


 Re: 方程式

謝謝啦

 2008-08-08 12:11個人資料


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