3. 有一個三十邊形A_1 A_2A_3....A_30內接於半徑為2的圓內。試證恆可以在弧A_kA_k-1 （其中29>=k>=1 ）上找出一個點B_k ；在弧 A_30A_1上找一個點 B_30，使得六十邊形A_1B_1A_2B_2....A_30B_30 的面積之數值等於三十邊形 A_1 A_2A_3....A_30的周長之數值。（四分）

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孫文先 敬上

設圓心為O，線段A1A2=x，當B1離線段A1A2最遠時A1B1A2O的面積最大，也就是A1A2垂直B1O，此時面積為2*x/2=x，數值等於線段A1A2，因此當O點在A1A2......A30內部時，A1B1A2B2......A30B30的面積最大值數值等於A1A2......A30周長數值。

當O點在A1A2......A30外部時，A1B1A2B2......A30B30的面積最大值數值會大於A1A2......A30的周長數值，而A1B1A2B2......A30B30的面積最小值數值，也就是A1A2......A30的面積，會小於A1A2......A30的周長數值。(因為A1A2O的面積=x*(16-x^2)^(1/2)/4≤x)
因此必然有一個60邊形的面積數值等於A1A2......A30周長數值。

在每邊上向外作中垂線，與圓相交之處即為所求之點
三十邊形周長=A_1A_2+A_2A_3+...+A_30A_1
六十邊形面積
=[(A_1A_2+A_2A_3+...+A_30A_1)*2]/2
=A_1A_2+A_2A_3+...+A_30A_1

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BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
B-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NN
BBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N

超混的俱樂部成員