不懂x^7=1,x=?求所有的解(包括複數)有七個解嗎?如果有,它是代數式嗎?
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因為x^7=1的根是7次單位根所以根的模為1所以在複數平面上找出與原點距離1的七個點從x=1開始以原點為中心順時針旋轉(360/7)度(sorry之前不小心打錯了...)所得的七個點就是x^7=1的根可以用三角函數式或尤拉式表示因為會很亂所以用說明的在網路上找可以找到它們的樣子這是我的想法...
simon89889 寫道:所以在複數平面上找出與原點距離1的七個點從x=1開始以原點為中心順時針旋轉(180/7度)#應該是360/7吧?!所得的七個點就是x^7=1的根引文:我知道這個方法,但有沒有根式表達的方法這是我從代數學辭典上引發的問題,它上面只有三~六次方的方法x^3=1x^3-1=0(x-1)(x^2+x+1)=0當x-1=0時x=1當x^2+x+1=0時x=(-1±i√3)/2---x^4=1x^2=±1x=±√±1(符號任取)---x^5=1x^5-1=0(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0當x-1=0時x=1當x^4+x^3+x^2+x+1=0時x^2+x+1+1/x+1/(x^2)=0x=(x+1/x)^2+(x+1/x)+1x+1/x=(-1±√5)/2x^2+(1±√5)x/2+1=0x=(-1±√5±√(10+2i√5)(符號任取)---x^6=1x^3=±1x=(±1±i√3)/2---推到六就結束了不知七有沒有解法三角函數式表上也沒有360/7_________________BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------NB-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----NBBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--NB-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NNBBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N超混的俱樂部成員
我已經找到方法了,但很難算出來x^7=1x^7-1=0(x-1)(x^6+x^5+...+x+1)=0若x-1=0.,則x=1若x^6+x^5+...+x+1=0,則設x+1/x=yx^3+x^2+x+1+1/x+1/(x^2)+1/(x^3)=0x^3+1/(x^3)=y^3-3yx^2+1/(x^2)=y^2-2x^3+x^2+x+1+1/x+1/(x^2)+1/(x^3)=y^3+y^2-2y-1 解三次方程再解二次方程x^2-xy+1=0,得到六個根