令f(n)=對所有取自集合{1,2,...,n}的數組i1小於i2小於...小於ik,k=1,2,...n中1/i1i2...ik的總和,證明f(n)=n對任意正整數n成立例如:n=3時,f(n)=f(3)=1/1+1/2+1/3+1/1*2+1/2*3+1/3*1+1/1*2*3=3一開始我是用歸納法證明,不過後來看到解答用了一個很漂亮的解法,想忘都忘不掉
可能的話能說明得再詳細一些,這是我的解讀,不知道我的想法有沒有錯?A1,A2,A3,....Am是集合{1,2,....,n} 除了空集以外所有的子集對於每個Aj,Tj是Aj中所有元素乘積的倒數f(n)=T1+T2+...Tm證明f(n)=n
_________________我們究竟來自何方,我們為何如此,又將前往何處?
沒錯,因為原題是用sigma寫的,所以我似乎表達的不太清楚。
歸納法令g(n)=f(n)-f(n-1)(請考慮展開式)顯然g(n)=(1/n)+(1/n)*f(n-1)(請考慮展開式)=(1/n)+(1/n)*(n-1)=1故得證
_________________Simple
歸納法也可以,不過有一個我認為更漂亮的解法(考慮韋達定理)
運用韋達定理:構造出函數 g(x)=(x-1)(x-1/2)*.....*(x-1/n)則n次項係數=1(n-1)次項係數= -(1+1/2+1/3+...+1/n)(n-2)次項係數=sigma[1/(1~n中任兩個的乘積)]......常數項=(-1)^n /(n!)所以f(n)=(-1)^n *g(-1) -1=(2/1)(3/2)(4/3)(5/4)*......*[(n+1)/n]-1=n
沒錯