三角形ABC中,角A為直角.角A平分線AP交BC於P.AD垂直BC交BC於D.M.N分別為三角形ABD與ACD的內心.試証:AP垂直MN
令AP與直線MN交於Q連接ND和MD,因為三角形ABD相似於三角形CAD所以MD:ND=AB:AC(MD和ND為對應之分角線),且角MDA=角NDA=45度故三角形MDN相似於三角形BAC(SAS)而AD為角MDN之分角線,設AD與MN交於D'則三角形DD'N與三角形APC相似所以角APC=角DD'N即D,D',Q,P四點共圓,則角D'QP=90度所以AP垂直MN