已經用x^2-2x≠0來引領你們進入解方程的感覺了 x≠0或2,x^a+x^b=x^c------(a,b,c)無整數解 這句話等同於a,b,c為整數 則x^a+x^b=x^c,除x=0或2外,不可能有其他整數解 將它換成x^a+x^b-x^c=0後 你可以發現不管a,b,c的大小如何 x^a+x^b-x^c絕對不會有(x+3,4,5...)或(x-3,4,5...)的因式 即x^a+x^b-x^c=0,不可能會有x=3,4,5...或-3,-4,-5...的解 所以討論x=-2,-1,0,1,2即可(0,2不用了)
回到原題,x=1,-1時,明顯(a,b,c)無整數解 所以剩-2,這裡是關鍵 回去把x^a+x^b=x^c換成x^(c-a)-x^(b-a)=1,反正x≠0 可以知道若兩個(-2)的整數次方差不可能為1 則x不可能為-2 -2的整數次方:...-1/8,1/4,-1/2,1,-2,4,-8... 兩個(-2)的非負整數次方之差最小為3 (3,3,6中最小為3) 故不可能為1(這裡完全證明稍難,不會再問我,手快斷了) 兩個(-2)的負整數次方之差最大為3/4 (3/8,3/4,3/16中最大為3/4) 故不可能為1(這裡完全證明稍難,不會再問我,手快斷了) 一個(-2)的非負整數次方和一個(-2)的負整數次方之差 為一個整數和非整數之差,不可能為整數,故不可能為1 得證......
其實後面那段同理可證x=3,4,5...或-3,-4,-5...不合...... _________________ 思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得
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