話說今年東南的第三題阿..天阿我根本不知道要怎麼下手...囧他是這麼說的:已知三角形ABC內切圓I分別與邊AB、BC相切於F、D,直線AD、CF分別交圓I於另一點H、K。求證:FDxHK=3(FHxDK)阿就麻煩大家了~~謝謝啦=D
我也是考生 提供一個有點暴力的作法,可惜考試的時候好像計算錯誤了...由托勒密訂理元題等價逾FN*MD=4FM*DN(CF-CN)*(AD-AM)=(CF-CD平方/CF)(AD-AF平方/AD)又4FM*DN=4(FD*AF/AD)*(FD*CD/CF)等價4FD平方*AF*CD=(CF平方-CD平方)(AD平方-AF平方)然後用餘弦定理把右是換掉然後COSBDF=FD/BD,DF=2BD*SINB/2等價AF*CD=AB*AC*SINB/2接下來報開就得證了我省略了一些步驟我也覺得我的做法沒有很漂亮但至少做得出來各位高手請提供更好的作法吧(我的M和N分別是樓主的H和K)
設內切圓切AC於G原式等價於FK*HD=4FH*DK由切割線性質可以得到GK*DF=DK*FG,FH*DG=HG*FD由托勒密定理FK*DG=2DK*FGFG*DH=2FH*DG兩式相乘即得FK*HD=4FH*DK所以原式亦成立
真是簡單明瞭阿雖然我也有想到G點但卻沒想到這一步好方法
唉,看來我還是得再多學一點高中數學啊......數學中我最弱的就是圓了!!我不會的題目有9成都是圓啊!!
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simon89889 寫道:設內切圓切AC於G原式等價於FK*HD=4FH*DK由切割線性質可以得到GK*DF=DK*FG,FH*DG=HG*FD由托勒密定理FK*DG=2DK*FGFG*DH=2FH*DG兩式相乘即得FK*HD=4FH*DK所以原式亦成立
一個角左右兩邊各有一組相似三角形(切割線性質)觀察三角形線段比例就可以得到了就像這樣GK:GF=CK:CG=CK:CD(橋樑)=DK:DF