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孫文先 Moderator
註冊日: 2002-07-30 發表數: 1094
| 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷高中組試題 | | ※ 每題必須詳細寫下證明及理由,只寫答案不一定有分數。 1. 平面上有A1, A2, …., A100 一百個點,丈量出這些點兩兩之間的距離,並在紙上記錄出所有4950個距離D(Ai, Aj)=dij。 (a) 僅有一個記錄D(A1, A2)=d12被擦除。請問利用剩下來的資料是否保證可以正確地重新填回這個資料?(二分) (b) 假設任意三點不在同一直線上,其中有k個記錄被擦除,請問保證可以正確地重新填回所有資料的最大k值是什麼?(三分) 2. 在一個圓形跑道上,2n位自行車選手同時從同一點同向以不同的均勻速度出發。若兩位自行車選手在同時刻再度位於同地點,則稱之為「相遇」。已知沒有三位或三位以上的自行車選手同時刻相遇在同一點。任兩位自行車選手都至少再相遇過一次,請證明在最後一對選手第一次相遇之際,每位自行車選手與其他選手相遇次數之總和至少 次。(六分) 3. 任意給定一個多邊形,將每一個邊長除以其他所有邊長之總和,再將所得之所有分數值相加,請證明所得之和小於2。(六分) 4. 兩位魔法師在海平面上方100公尺處互相鬥智。他們輪流施行咒語,而每次咒語之形式都如:「將我的高度降a公尺並將我的對手的高度降b公尺。」其中a、b為實數且b>a>0,不同的咒語有不同的a與b值。兩人所採用咒語的集合相同,這些咒語可用任何順序施行,且同一咒語可施行許多次。如果施行完某個咒語後,能使他自己仍保持在水面之上方而他的對手則在水面之下方,便稱這一位魔法師獲勝。 (a) 請問是否存在一組咒語之數量為有限多個的集合,使得後手的魔法師保證有策略可以獲勝?(二分) (b) 請問是否存在一組咒語之數量為無限多個的集合,使得後手的魔法師保證有策略可以獲勝?(五分) 5. 四邊形ABCD內接於圓O,其對角線AC與BD均不通過圓心O。假設三角形AOC外接圓的圓心落在直線BD上,請證明三角形BOD之外接圓的圓心落在直線AC上。(八分) 6. 在1000×1000方格表的每個小方格內都填入一個0或1。請證明我們保證可以從此方格表中找到10列,使得這10列中的每一行都至少有一個小方格內的數是1;或者可以找到10行,使得這10行中的每一列中都至少有一個小方格內的數是0。(十二分) 7. 將一個正方形切為若干個全等的矩形,這些矩形的邊長都是整數。一個矩形若與正方形由左上至右下的對角線至少有一個交點,則我們稱此矩形為「核心矩形」。請證明這條對角線平分這些「核心矩形」的總面積。(十四分) 《成績是取最高得分三題的總和,考試時間五小時。》
_________________ 孫文先 敬上
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2010-11-28 15:29 | |
ricktu Home away from home
註冊日: 2009-08-23 發表數: 179 台北市
| Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷高中組試題 | | 1.(a) 將A3~A100排在同一直線上,A1和A2在直線外 這樣可以填回資料嗎?
觀察到2個現象(未證明): 1.若一個點與n個於同一直線上的固定的點連接(n>1),則該點有2種可能的位置(該點不在其他點的直線上) 2.若一個點與3個不在同一直線上的固定的點連接,則該點也是固定的 ("連接"是指有記錄該兩點間的距離) _________________ 01010010011010010110001101101011001000000101010001110101
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2010-11-29 20:51 | |
santion1 Just popping in
註冊日: 2008-02-20 發表數: 5
| Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷高中組試題 | | 關於第一題我自己倒是有想法
我們先將A1標出來 知道A1A2距離可以標出A2 (因為所有100個點可以以A1為圓心做旋轉) 但要標出A3 必須知道A1A3及A2A3距離 (因為可以以A1A2為對稱軸將100個點置換) 從此之後 方面完全確定 所以標出A4~A100都需要任意三個點做圓去確定其位置
故最少需要 A1A2(求A2點)+A1A3;A2A3(求A3點)+97X3(剩下A4~A100)
也就是1+2+3X97=294組資料
但是我在作答時似乎寫錯了= = 不知道我現在的想法對不對 |
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2010-11-30 18:02 | |
ricktu Home away from home
註冊日: 2009-08-23 發表數: 179 台北市
| Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷高中組試題 | | 最少需要294組資料? 但並不是只要294組資料就可保證填回所有資料阿 有時即使4853組資料都不能填回所有資料
1.(b) k=97不行 反例:把與同一個點連接的97條線(資料)拿掉,它只連接著兩條線,就有兩種可能的位置 _________________ 01010010011010010110001101101011001000000101010001110101
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2010-11-30 21:55 | |
ricktu Home away from home
註冊日: 2009-08-23 發表數: 179 台北市
| Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷高中組試題 | | k=96好像可以 昨天想到一個方法,不知道對不對: 這100個點中一定有3個互相連線的點,這3點的相對位置是固定的(之後的"固定"都是指相對於這3點) 剩下的97個點中,必有1個點與已知固定的3個點各連一條線,這個點也是固定的 剩下的96個點中,必有48個點都與已知固定的4個點至少連3條線,這48個點也是固定的 剩下的48個點中,必有47個點都與已知固定的52個點至少連3條線,這47個點也是固定的 剩下的1個點一定與已知固定的99個點至少連3條線,這個點也是固定的
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2010-12-02 22:07 | |
zaq1bgt5cde3mju7 Home away from home
註冊日: 2010-04-03 發表數: 559 台灣台中市
| Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷高中組試題 | | 第二題那個應該是n^2次,解決了(原來我又搞錯題意了...) (當然初中高級卷的第三題也解決了) 首先設他們的速率分別為a1,a2,a3...a2n 其中a2n>=...>=a3>=a2>=a1 其中最後一對相遇的選手設其速率差為1公尺/秒 設圓形跑道長x公尺,那麼最後一對選手相遇之際 速率ap的與速率aq的已相遇 (x/1)/[x/(ap-aq)] 的整數部分=ap-aq 的整數部分次了(p>q) 而顯然最後一對相遇的選手速率差要為最小(1公尺/秒) 否則就不是最後一對了(速率差最小的最久追滿一圈) 故ap與aq的速率差恆大於等於p與q的差 即最後一對選手相遇之際 速率ap的與速率aq的已相遇p-q次以上(p-q為正整數) 再來就列式解決 _________________ 思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得
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2010-12-02 22:43 | |
zaq1bgt5cde3mju7 Home away from home
註冊日: 2010-04-03 發表數: 559 台灣台中市
| Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷高中組試題 | | 終於回到家了... 第五題在坐高鐵去台北聽演講的時候解掉了 蕭教授問的2^k階至少k+2次的那個在坐高鐵回台中時也解掉了
第五題: 我用我們老師補充的東西解掉了 我們老師的補充:任意三角形外接圓的直徑等於任兩邊乘積除以第三邊上的高 設三角形AOC,AC上的高為OM(M在AC上),外心為P 三角形BOD,BD上的高為ON(N在BD上),外心為Q 而OA=OB=OC=OD,故O,M,P三點共線,O,N,Q三點也共線 且三角形AOC與BOD的外接圓半徑比等於ON:OM 即OP:OQ=ON:OM,而P在直線BD上 故只當Q在直線AC上時,滿足OP:OQ=ON:OM (以AA相似性質證,且Q不能在以N為端點的ON延長線上) 即命題獲證
蕭教授的問題還是需要當面講比較清楚 但基本上用數歸很容易就解決了 搭配逆向操作,分成小三角形在上面,左下,右下三個大三角形三種情況討論 _________________ 思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得
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2010-12-04 20:58 | |