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      /  2010 青少年國際數學城市邀請賽 題目求解
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zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 2010 青少年國際數學城市邀請賽 題目求解

嘿嘿,解出來了
只有(2,3)和(3,2)這組
粗略證明一下
證明:
若p=q,則p^3(p-2)=1
p=2不合,p>=3也易證不合
故p不=q,不妨設p>q
(1)若q=2,則p^2(p-4)=-9,p=3合,p>=5易證不合
(2)若q>=3,p>q,p>q+1,而p^2整除(q+1)[(q+1)^2-3q]
故p(沒平方)整除q+1或p^2整除(q+1)^2-3q
而兩者易證矛盾,故q>=3無解
綜上所述,只有(2,3),(3,2)兩組
答:5


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2010-12-30 20:42個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
hansonyu123
Home away from home



註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 2010 青少年國際數學城市邀請賽 題目求解


沒想到這題解法那麼單純…
看來我想太多了(還想到ab勒)
不過這題是難在要想的到才行啊…


_________________
去吧!神奇數學球!
--------------------------------------------------------------

字塔
也應該
要有進步
的這一天吧
今天我就讓他
徹徹底底進化吧
二零一二零九二九
二一點二六分三十秒
不要問我現在是幾毫秒

 2010-12-30 21:51個人資料
WENDYCHI
Home away from home



註冊日: 2007-08-27
發表數: 987
^^^ ( ^_^ |||) ^^^

 Re: 2010 青少年國際數學城市邀請賽 題目求解

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
嘿嘿,解出來了
只有(2,3)和(3,2)這組
粗略證明一下
證明:
若p=q,則p^3(p-2)=1
p=2不合,p>=3也易證不合
故p不=q,不妨設p>q
(1)若q=2,則p^2(p-4)=-9,p=3合,p>=5易證不合
(2)若q>=3,p>q,p>q+1,而p^2整除(q+1)[(q+1)^2-3q]
故p(沒平方)整除q+1或p^2整除(q+1)^2-3q
而兩者易證矛盾,故q>=3無解
綜上所述,只有(2,3),(3,2)兩組
答:5



好威= =

我用輾轉相除證明ING


_________________
BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
B-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NN
BBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N

超混的俱樂部成員

 2010-12-30 22:01個人資料
hansonyu123
Home away from home



註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 2010 青少年國際數學城市邀請賽 題目求解

引文:

WENDYCHI 寫道:
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
嘿嘿,解出來了
只有(2,3)和(3,2)這組
粗略證明一下
證明:
若p=q,則p^3(p-2)=1
p=2不合,p>=3也易證不合
故p不=q,不妨設p>q
(1)若q=2,則p^2(p-4)=-9,p=3合,p>=5易證不合
(2)若q>=3,p>q,p>q+1,而p^2整除(q+1)[(q+1)^2-3q]
故p(沒平方)整除q+1或p^2整除(q+1)^2-3q
而兩者易證矛盾,故q>=3無解
綜上所述,只有(2,3),(3,2)兩組
答:5



好威= =

我用輾轉相除證明ING


輾轉??
你也太猛了吧??
要怎麼用輾轉證啊?
不過只要想通了,證明就「啪答啪答」的出來了


_________________
去吧!神奇數學球!
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字塔
也應該
要有進步
的這一天吧
今天我就讓他
徹徹底底進化吧
二零一二零九二九
二一點二六分三十秒
不要問我現在是幾毫秒

 2010-12-30 22:03個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
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註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 2010 青少年國際數學城市邀請賽 題目求解

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
嘿嘿,解出來了
只有(2,3)和(3,2)這組
粗略證明一下
證明:
若p=q,則p^3(p-2)=1
p=2不合,p>=3也易證不合
故p不=q,不妨設p>q
(1)若q=2,則p^2(p-4)=-9,p=3合,p>=5易證不合
(2)若q>=3,p>q,p>q+1,而p^2整除(q+1)[(q+1)^2-3q]
故p(沒平方)整除q+1或p^2整除(q+1)^2-3q
而兩者易證矛盾,故q>=3無解
綜上所述,只有(2,3),(3,2)兩組
答:5


我的思路:
看到式子第一個想到的是a^3+b^3+c^3-3abc的那個恐怖公式
但找不到3abc,右邊不是(pq)^3
反正那個公式也真的很恐怖,沒去代
想說解不出來再去試他
看到p,q為質數就先試奇偶性質,結果沒用
再來想到整除,也就是p^2整除q^3+1
變一下是p^2整除(q+1)(q^2-q+1),先留著
看到下面寫的,就想乾脆把能用的都用來淘汰其他解
(2,2)這個錯解讓我忍不住去先淘汰p=q的狀況
---------------------------
若p=q,則p^3(p-2)=1
p=2不合,p>=3也易證不合
故p不=q,不妨設p>q
---------------------------
就這段快速秒完
後面"不妨設p>q"是緊接而上的想法
然後(2,3)這組我馬上換成(3,2)
又讓我想去分q=2,q>=3兩種情況
----------------------------------------------------------
(1)若q=2,則p^2(p-4)=-9,p=3合,p>=5易證不合
-----------------------------------------------------------
快速秒掉q=2的
q>=3,我馬上將p>q升級為p>q+1
q+1又讓我想起前面的p^2整除(q+1)(q^2-q+1)
順便就將他變成p^2整除(q+1)[(q+1)^2-3q]
剛好結合起來,大概再花5分鐘
-----------------------------------------------------------------
(2)若q>=3,p>q,p>q+1,而p^2整除(q+1)[(q+1)^2-3q]
故p(沒平方)整除q+1或p^2整除(q+1)^2-3q
而兩者易證矛盾,故q>=3無解
-----------------------------------------------------------------
這段出來就結束了
所以其實思路好像是靠各位ㄝ


_________________
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 2011-01-01 11:48個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
hansonyu123
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註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 2010 青少年國際數學城市邀請賽 題目求解

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
嘿嘿,解出來了
只有(2,3)和(3,2)這組
粗略證明一下
證明:
若p=q,則p^3(p-2)=1
p=2不合,p>=3也易證不合
故p不=q,不妨設p>q
(1)若q=2,則p^2(p-4)=-9,p=3合,p>=5易證不合
(2)若q>=3,p>q,p>q+1,而p^2整除(q+1)[(q+1)^2-3q]
故p(沒平方)整除q+1或p^2整除(q+1)^2-3q
而兩者易證矛盾,故q>=3無解
綜上所述,只有(2,3),(3,2)兩組
答:5


我的思路:
看到式子第一個想到的是a^3+b^3+c^3-3abc的那個恐怖公式
但找不到3abc,右邊不是(pq)^3
反正那個公式也真的很恐怖,沒去代
想說解不出來再去試他
看到p,q為質數就先試奇偶性質,結果沒用
再來想到整除,也就是p^2整除q^3+1
變一下是p^2整除(q+1)(q^2-q+1),先留著
看到下面寫的,就想乾脆把能用的都用來淘汰其他解
(2,2)這個錯解讓我忍不住去先淘汰p=q的狀況
---------------------------
若p=q,則p^3(p-2)=1
p=2不合,p>=3也易證不合
故p不=q,不妨設p>q
---------------------------
就這段快速秒完
後面"不妨設p>q"是緊接而上的想法
然後(2,3)這組我馬上換成(3,2)
又讓我想去分q=2,q>=3兩種情況
----------------------------------------------------------
(1)若q=2,則p^2(p-4)=-9,p=3合,p>=5易證不合
-----------------------------------------------------------
快速秒掉q=2的
q>=3,我馬上將p>q升級為p>q+1
q+1又讓我想起前面的p^2整除(q+1)(q^2-q+1)
順便就將他變成p^2整除(q+1)[(q+1)^2-3q]
剛好結合起來,大概再花5分鐘
-----------------------------------------------------------------
(2)若q>=3,p>q,p>q+1,而p^2整除(q+1)[(q+1)^2-3q]
故p(沒平方)整除q+1或p^2整除(q+1)^2-3q
-----------------------------------------------------------------
這段出來就結束了
所以其實思路好像是靠各位ㄝ


拍手拍手
你的思路真清淅
你好厲害
我把這題目想複雜了


_________________
去吧!神奇數學球!
--------------------------------------------------------------

字塔
也應該
要有進步
的這一天吧
今天我就讓他
徹徹底底進化吧
二零一二零九二九
二一點二六分三十秒
不要問我現在是幾毫秒

 2011-01-03 19:49個人資料
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