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      /  建國中學通訊解題
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a20003
Just popping in



註冊日: 2012-06-28
發表數: 7


 建國中學通訊解題

黑板上有若干個 號及 號排成一列,每次擦掉一個 號,並把相鄰兩個的符號變號(至多改變兩個,若無相鄰者,則不變;擦掉後仍保留空格,所謂相鄰者是中間無任何空格者),試問一開始時,在什麼情況下,可以把全部的符號都擦掉?
例如: 򞔡++─ ─+- → ++-+●+ → +++●●+ → ●-+●●+ → ●-+●●● → ●+●●●● → ●●●●●●(完成)
++─ ─ → ●──── &-●+-(無法完成)


_________________
如果有人問你1+1=多少?你回答3,那你要注意囉!!你可能已經到達神的境界<<

 2012-06-28 21:01個人資料
paul30219
Not too shy to talk



註冊日: 2012-03-29
發表數: 34
桃園

 Re: 建國中學通訊解題

引文:

a20003 寫道:
黑板上有若干個 號及 號排成一列,每次擦掉一個 號,並把相鄰兩個的符號變號(至多改變兩個,若無相鄰者,則不變;擦掉後仍保留空格,所謂相鄰者是中間無任何空格者),試問一開始時,在什麼情況下,可以把全部的符號都擦掉?
例如: 򞔡++─ ─+- → ++-+●+ → +++●●+ → ●-+●●+ → ●-+●●● → ●+●●●● → ●●●●●●(完成)
++─ ─ → ●──── &-●+-(無法完成)



黑板上有若干個 號及 號排成一列,每次擦掉一個 號
到底是什麼號啊?
是+.-.+嗎


_________________
在數學的大海中悠游的一隻羊 (好像還在淺水區? )

 2012-06-28 22:16個人資料
justpoppingin
Just can't stay away



註冊日: 2009-08-19
發表數: 126
某平行宇宙,銀河系,太陽系,類地行星,地球,歐亞非大陸,歐亞板塊,亞洲,東亞,花彩列島,台灣 的某個角落

 Re: 建國中學通訊解題

引文:

a20003 寫道:
黑板上有若干個+號及-號排成一列,每次擦掉一個+號,並把相鄰兩個的符號變號(至多改變兩個,若無相鄰者,則不變;擦掉後仍保留空格,所謂相鄰者是中間無任何空格者),試問一開始時,在什麼情況下,可以把全部的符號都擦掉?


目前猜想奇數個+都可以,偶數個都不行,可能用數歸會比較好。

 2012-06-29 06:39個人資料拜訪網站
justpoppingin
Just can't stay away



註冊日: 2009-08-19
發表數: 126
某平行宇宙,銀河系,太陽系,類地行星,地球,歐亞非大陸,歐亞板塊,亞洲,東亞,花彩列島,台灣 的某個角落

 Re: 建國中學通訊解題

有了!
在證明之前,先說明一件事
當有一個不在兩端的+號被消除後,剩下由空格隔開的兩部分無法互相干擾,所以可視為需消除所有+號的兩組情況
當"只有一個+號"時:(不解釋)
當"只有三個+號"時:- - - - - + - - - + - - - + - - - - -
先從最左邊的+開始消去↓
- - - - + 0 + - - + - - - + - - - - -
空格左邊為只有一個+的情況,所以一定都可以刪掉
而右半邊繼續刪最左邊的那個,直到中間的+變成-↓
0 0 0 0 0 0 0 0 0 - - - - + - - - - -
剩下的部分為只有一個+的情況,所以一定可以都刪掉
故只有三個+時成立
如果"只有2n-1個+號時"成立,那麼當"只有2n+1個+號"時(n>1):- - - + - - -... - - - + - - -
將左邊數來第三個+刪掉後,左邊會是只有3個+的部分,右邊會是只有(2n+1)-3+1=(2n-1)個+號的部分
而因為這兩種情況皆可成立,故當只有2n+1個+時也可以成立
統計以上結果,由數學歸納法可知只要裡面有奇數個+都可成立
偶數的...再想想

 2012-06-29 06:59個人資料拜訪網站
justpoppingin
Just can't stay away



註冊日: 2009-08-19
發表數: 126
某平行宇宙,銀河系,太陽系,類地行星,地球,歐亞非大陸,歐亞板塊,亞洲,東亞,花彩列島,台灣 的某個角落

 Re: 建國中學通訊解題

為了解釋方便,再說明一個東西:
若從此列的一端開始有數個連續的-號,且再接上一個+號,則這些-號可直接忽略:+ + + - - - -
因為若需要達成目的,所有的+號-號都需刪掉,不管前面步驟為何,到最後一定會有一步是需刪除在這個位置的+號↓
+ - 0 + - - -
這時候原本最左邊的-號變成+號,右半邊為只有一個+號的情況,故全部都可以刪除
但不管加了再多的減號,都並不會影響結果,能成立就能成立,不能就不能,所以可直接忽略旁邊的減號
偶數:
當只有兩個+時:+ - - - +
不失一般性,就以選左邊的+號來說明
選了左邊的+號後,會形成這樣的情況↓
0 + - - +
剩下的部分仍然是只有兩個+的情況,故可直接跳到兩個+相連的情況↓
0 0 0 + +
這時不管選哪個+號,另外一個+號就會變成-號,但已沒有任何其他的+號,所以此減號消不掉,可得當只有兩個+號時不成立
若已知"只有2,4,6...2n個+號"都不成立,那麼當"只有2n+2個+號"時(n>0):+ - - + - -...... - - +
若從中選取任何一個+號,則從左至右會形成的情況如下↓
(2n+2),(2&2n+1),(3&2n),(4&2n-1)...(2n&3),(2n+1&2),(2n+2)
其中除了兩端的情況外,剩餘的都是一奇一偶,故中間的所有情況都不合
而兩端的情況一直延續下去後會如下↓
+ + - - +......+ - + +(2n+2個+)
這時如果不取兩端的+號的話,也會形成如上的情況
但若取掉兩端的+號之中的其中一個,會將旁邊的+號也同時變成-號,剩下來的+號就只有2n個
但我們已經知道"只有2n個+號"是不成立的,故"只有2n+2個+號"的情況也是不成立的
統整以上結果(包含前面的),可得:
若這之中有奇數個+號,則可以將所有的符號都去掉;若這之中有偶數個+號,則否。
證畢

 2012-07-01 02:05個人資料拜訪網站
a20003
Just popping in



註冊日: 2012-06-28
發表數: 7


 Re: 建國中學通訊解題

不好意思,沒注意到 + - +沒錯


_________________
如果有人問你1+1=多少?你回答3,那你要注意囉!!你可能已經到達神的境界<<

 2012-07-02 05:48個人資料
a20003
Just popping in



註冊日: 2012-06-28
發表數: 7


 Re: 建國中學通訊解題

非常謝謝你


_________________
如果有人問你1+1=多少?你回答3,那你要注意囉!!你可能已經到達神的境界<<

 2012-07-02 05:53個人資料
hansonyu123
Home away from home



註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 建國中學通訊解題

引文:

justpoppingin 寫道:
為了解釋方便,再說明一個東西:
若從此列的一端開始有數個連續的-號,且再接上一個+號,則這些-號可直接忽略:+ + + - - - -
因為若需要達成目的,所有的+號-號都需刪掉,不管前面步驟為何,到最後一定會有一步是需刪除在這個位置的+號↓
+ - 0 + - - -
這時候原本最左邊的-號變成+號,右半邊為只有一個+號的情況,故全部都可以刪除
但不管加了再多的減號,都並不會影響結果,能成立就能成立,不能就不能,所以可直接忽略旁邊的減號
偶數:
當只有兩個+時:+ - - - +
不失一般性,就以選左邊的+號來說明
選了左邊的+號後,會形成這樣的情況↓
0 + - - +
剩下的部分仍然是只有兩個+的情況,故可直接跳到兩個+相連的情況↓
0 0 0 + +
這時不管選哪個+號,另外一個+號就會變成-號,但已沒有任何其他的+號,所以此減號消不掉,可得當只有兩個+號時不成立
若已知"只有2,4,6...2n個+號"都不成立,那麼當"只有2n+2個+號"時(n>0):+ - - + - -...... - - +
若從中選取任何一個+號,則從左至右會形成的情況如下↓
(2n+2),(2&2n+1),(3&2n),(4&2n-1)...(2n&3),(2n+1&2),(2n+2)
其中除了兩端的情況外,剩餘的都是一奇一偶,故中間的所有情況都不合
而兩端的情況一直延續下去後會如下↓
+ + - - +......+ - + +(2n+2個+)
這時如果不取兩端的+號的話,也會形成如上的情況
但若取掉兩端的+號之中的其中一個,會將旁邊的+號也同時變成-號,剩下來的+號就只有2n個
但我們已經知道"只有2n個+號"是不成立的,故"只有2n+2個+號"的情況也是不成立的
統整以上結果(包含前面的),可得:
若這之中有奇數個+號,則可以將所有的符號都去掉;若這之中有偶數個+號,則否。
證畢



(此文刪除)


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字塔
也應該
要有進步
的這一天吧
今天我就讓他
徹徹底底進化吧
二零一二零九二九
二一點二六分三十秒
不要問我現在是幾毫秒

 2012-07-17 22:50個人資料


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