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      /  一個關於恰當微分的速解法
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LeonSun
Just popping in



註冊日: 2002-09-03
發表數: 12


 一個關於恰當微分的速解法

由於最近因準備研究所,所以開始復習工數,而在工數的第一章有一節是恰當微分的章節,小弟最近想到一個另類的解法。
M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0

My = Nx => exact

Let

M(x,y) = R(x) + r(x,y)

N(x,y) = Q(y) + q(x,y)

Solution is

S R(x)dx + S Q(y)dy + S r(x,y)dx = c or

S R(x)dx + S Q(y)dy + S q(x,y)dy = c and

S R(x)dx + S Q(y)dy + 1/2 [S r(x,y)dx + S q(x,y)dy] = c
My是M(x,y)對於y的偏微分,S代表積分符號,r(x,y)中y視為常數,而q(x.y)中x視為常數

不知道各位在上課時老師有沒有教這一個方法,至少我沒有,然後我就去找以前上過課的老師,結果被罵到臭頭,還說這是旁門左道,這方法沒多大意義,這我當然知道沒多大意義啊,但至少這個方法和課本上的不一樣吧,而且我還有証明,只是當時並不完全,所以先post上來看有沒有人,已經知道這一個方法。


_________________

 2002-10-12 23:27個人資料
LeonSun
Just popping in



註冊日: 2002-09-03
發表數: 12


 Re: 一個關於恰當微分的速解法

現在post我的証明,也酗]於數學的高手而言,這証明並看不上眼,但是對於學工數的同學而言,應該是可以接受的。
f(x,y) = c => df = 0

df = fxdx + fydy = 0

S df = 0 => f(x,y) = c

上面只是說積分是微分的逆運算,相信有學過微積分的應該都知道,但是第一個命題就在這裡

既然 S df = 0 => f(x,y) = c

那 S fxdx + S fydy = or not = f(x,y) = c 會不會等於f(x,y)呢?

(x+y)^2dx + (x+y)^2dy = 0

以這個題為例,用正常的解法所得的答案,和直接積分回去的答案是不一樣的,其不一樣的地方在於x和y的混合項多出了一倍,所以第一個命題的答案是

S fxdx + S fydy not = f(x,y) = c


_________________

 2002-10-15 22:36個人資料
LeonSun
Just popping in



註冊日: 2002-09-03
發表數: 12


 Re: 一個關於恰當微分的速解法

繼續上面的證明,即混合項會多一倍,那就多可能是微積分運算,和四則運算有本質上的不同,所以就把f(x,y)拆成三個部分,分別是純x的、純y的和xy的混合項。

let: f(x,y) = H(x) + P(y) + G(x,y)

df = fxdx + fydy = 0 => df = [H'(x) + Gx]dx + [P'(y) + Gy]dy = 0

S fxdx + S fydy = S H'(x)dx + S P'(y)dy + S Gxdx + S Gydy

S fxdx + S fydy = H(x) + P(y) + 2G(x,y) = f(x,y) + G(x,y)

原來是偏微分搞的鬼,所以我只要從G(x,y)下手就是了,因為在直接還原的過程中G(x,y)就是S Gxdx 同時也是S Gydy 所以會多出一個G(x,y),所以只要取一其一積分,或是它們相加的一半,也是就是一開始的三個公式啦。

在積分中一定會有常數項吧,而偏積分中的常數則會帶有當初被視定值的數,這是接下來的中心概念。
f(x,y) = S H'(x)dx + S P'(y)dy + 1/2[ S Gxdx + S Gydy] = c

let:
S H'(x)dx = H(x) + a ; S P'(y)dy = P(y) + e

S Gxdx = G(x,y) + b(y) ;S Gydy = G(x,y) + j(x)

S H'(x)dx + S P'(y)dy +1/2[ S Gxdx + S Gydy] = c

=> H(x) + a + P(y) + e +1/2[G(x,y) + b(y) + G(x,y) + j(x)] = c

=> f(x,y) + 1/2[ b(y) + j(x)] = c - a - e

∵f(x,y) = c ∴1/2[ b(y) + j(x)] = -a - e ###

由於b(y) + j(x)是一常數,所以這兩個不同變數的函數相加,居然只是一個常數,所以iff(if and only if)它們兩個函數是常數。

以由於以上的積分常數可以移項和未定常數合併,而對所未定常數的任何運算都還是未定常數,例如 c^2 = d,所以我們可以大膽的寫出

f(x,y) = S H'(x)dx + S P'(y)dy +1/2[ S Gxdx + S Gydy] = c

同時也是因為這緣故,第一個和第二個公式也成立,最後再把

M(x,y) = R(x) + r(x,y) ; N(x,y) = Q(y) + q(x,y)

fxdx + fydy = = [H'(x) + Gx]dx + [P'(y) + Gy]dy

來比較,就知道R(x)、r(x,y)、Q(y)、q(x,y)和H'(x)、Gx、P'(y)、Gy,及fx、fy,的關係求出來了,我就不說了。

M(x,y)及N(x,y)中的常數請歸類到R(x)和Q(y)中,不然錯誤的機會是一半以上哦。


_________________

 2002-10-15 22:42個人資料
訪客








 Re: 一個關於恰當微分的速解法

If u(x,y) is the solution of an exact D.E.
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
where My=Nx, defined as "Leon Sun"
To find the solution function : u(x,y)

Here is my solution:
Since the D.E. : Mdx+Ndy=0 is an exact D.E.
Let u=u(x,y) be the solution of this D.E.
and M(x,y)=R(x)+r(x,y), N(x,y)=Q(y)+q(x,y)

Note : let "\p" be the partial diff. symbol.
"\int" be the integral symbol

we have du=[\p u / \p x]dx+[\p u / \p y]dy
and (1) [\p u / \p x] = M , (2) [\p u / \p y] = N

thus, the solu. of (1) is
u = \int M dx + k(y)
= \int R dx + \int r(x,y)dx + k(y). -----(*)
where k(y) is the function of y.
By (2) and (*), we have
[\p u / \p y] = \int [\p r(x,y) / \p y] dx + k'(y)
= Q(y) + q(x,y)

Consider that k' = Q,
thus q(x,y) = \int [\p r / \p y] dx and
k(y) = \int k'(y)dy = \int Q(y)dy +c_1

Hence by (*) we have
u = \int R dx + \int r(x,y)dx + k(y)
= \int R dx + \int Q dy + \int r(x,y)dx + c_1 ---(i)
where c_1 is a constant.
Similarly,
u = \int R dx + \int Q dy + \int q(x,y)dy + c_2 --(ii)
where c_2 is a constant.

Finally, (i)+(ii) implies
2u = 2(\int R dx + \int Q dy)
+ \int r(x,y)dx + \int q(x,y)dy + c_1 + c_2
u = \int R dx + \int Q dy
+ [\int r(x,y)dx + \int q(x,y)dy] / 2 + c
where c = [c_1 +c_2] / 2.

This show that:
If we consider u=u(x,y) be the solution of the
D.E.: Mdx+Ndy=0
and let M(x,y)=R(x)+r(x,y), N(x,y)=Q(y)+q(x,y)
then the solution u(x,y) can be express as:
(1). u = \int R dx + \int Q dy
+ [\int r(x,y)dx + \int q(x,y)dy] / 2 + c
or
(2). u = \int R dx + \int Q dy + \int r(x,y)dx + c
or
(3). u = \int R dx + \int Q dy + \int q(x,y)dy + c.

Here has some problem:

How to take M(x,y)=R(x)+r(x,y) and
N(x,y)=Q(y)+q(x,y) ??
Why we can consider that k' = Q,
and q(x,y) = \int [\p r / \p y] dx ??

 2002-10-17 11:03
訪客








 Re: 一個關於恰當微分的速解法

> df = fxdx + fydy = 0
> S df = 0 => f(x,y) = c
> S fxdx + S fydy = or not = f(x,y) = c 會不會等於f(x,y)呢?

這個是有問題的!
S fxdx + S fydy 是兩個單變數積分之和,
是取 fx 及 fy 分別對 x, y 積分.
並不能看成 S [ fxdx + fydy] d?? --> 對什麼積分?
又 S df d?? --> 對什麼積分? 變數x, 或y??
或 (x,y) --> 重積分?

在 df = fxdx + fydy 定義中, dx , dy 是一個微量,
並不是在前面加積分號就會使等號成立.
所以 Leon Sun 提及
> (x+y)^2dx + (x+y)^2dy = 0
> 以這個題為例,用正常的解法所得的答案,和直接積分回去的答案是不一樣的,

當然不能直接積分回去!

 2002-10-17 11:26
訪客








 Re: 一個關於恰當微分的速解法

引文:

寫道:
> df = fxdx + fydy = 0
> S df = 0 => f(x,y) = c
> S fxdx + S fydy = or not = f(x,y) = c 會不會等於f(x,y)呢?

這個是有問題的!
S fxdx + S fydy 是兩個單變數積分之和,
是取 fx 及 fy 分別對 x, y 積分.
並不能看成 S [ fxdx + fydy] d?? --> 對什麼積分?
又 S df d?? --> 對什麼積分? 變數x, 或y??
或 (x,y) --> 重積分?

在 df = fxdx + fydy 定義中, dx , dy 是一個微量,
並不是在前面加積分號就會使等號成立.
所以 Leon Sun 提及
> (x+y)^2dx + (x+y)^2dy = 0
> 以這個題為例,用正常的解法所得的答案,和直接積分回去的答案是不一樣的,

當然不能直接積分回去!



先回覆這一篇,
df = fxdx + fydy
這是f(x,y)全微分式,
所以只有S df 而不是 S df d?? ,這是什麼我也不知道啦。
所以 S [ fxdx + fydy] d??是什麼我也是不知道啦。

我以為我標明了工數後fx是什麼,看的人就會知道,這是我不對造成各位的誤會,fx是f(x,y)對x的偏微分,而fy則是f(x,y)對y的偏微分。

所以若是f(x,y) = c,那 df = 0 ,反過來說
S df = f(x,y) = c。

 2002-10-17 22:14
訪客








 Re: 一個關於恰當微分的速解法

Thank for your response. But my english is too bad to response your problem in english. May I response your problem in chinese?

Problem 1

for a question as follow

(x+y)^2dx + (x+y)^2dy = 0

My = Nx = 2(x+y) => exact

(x+y)^2dx + (x+y)^2dy =0

=>(x^2 + 2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy + y^2)dy = 0

M(x,y) = R(x) + r(x,y) and N(x,y) = Q(y)+q(x,y)

At here, we divide M(x,y) and N(x,y) as follow

R(x) = x^2 ; r(x,y) = 2xy + y^2

Q(y) = y^2 ; r(x,y) = x^2 + 2xy

If M(x,y) or N(x,y) have any constant. Let it belone to R(x) or Q(y).

 2002-10-17 23:12
LeonSun
Just popping in



註冊日: 2002-09-03
發表數: 12


 Re: 一個關於恰當微分的速解法

Thank for your response. But my english is too bad to response your problem in english. May I response your problem in chinese?

Problem 1

for a question as follow

(x+y)^2dx + (x+y)^2dy = 0

My = Nx = 2(x+y) => exact

(x+y)^2dx + (x+y)^2dy =0

=>(x^2 + 2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy + y^2)dy = 0

M(x,y) = R(x) + r(x,y) and N(x,y) = Q(y)+q(x,y)

At here, we divide M(x,y) and N(x,y) as follow

R(x) = x^2 ; r(x,y) = 2xy + y^2

Q(y) = y^2 ; r(x,y) = x^2 + 2xy

If M(x,y) or N(x,y) have any constant. Let it belone to R(x) or Q(y).

不好意思上兩篇都是我post的。

Problem 2

在我們把N(x,y)分成兩個部份,一為只涵有一個變數y如Q(y),其它的無法歸類為Q(y)的部份,就讓它們為q(x,y), 而在上面的証明中,的k'(y)它是一個單純y的函數,另外一個函數[ q(x,y) = \int [\p r / \p y] dx ]是x和y的混合函數,所以有理由相信

q(x,y) = \int [\p r / \p y] dx and Q(y) = k'(y)

但是相信歸相信,還是要証明出來才能說它是對的,在這裡我想只証明出 \int [\p r / \p y] dx 一定是x和y的混合函數,至於怎麼証明,請容我想想???


_________________

 2002-10-17 23:15個人資料
LeonSun
Just popping in



註冊日: 2002-09-03
發表數: 12


 Re: 一個關於恰當微分的速解法

q(x,y) = \int [\p r / \p y] dx
我想這個証明應該很簡單,因為積分符號中是對於x做積分的運算,所以積出來的函數也應該函有x才對,所以如果 r(x,y)是一個任意的函數,對x做積分運至少它會是一個x的函數,所以在這裡我可以大膽的說 q(x,y) = \int [\p r / \p y] dx 是正確的。

你的証明比我的好多了,也較嚴謹,只是沒有那麼的直觀。


_________________

 2002-10-18 12:52個人資料
訪客








 Re: 一個關於恰當微分的速解法


我知道 df 它是全微分,但是我提出的質疑是
S df 的積分對象是什麼?
是x或y或x與y?
必須先說清楚,下面才有意義!
> 若是f(x,y) = c,那 df = 0 ,反過來說
> S df = f(x,y) = c。

再者,
S fxdx + S fydy是兩個函數分別對x與y積分,
我質疑的是
S [ fxdx + fydy] dt not = S fxdx + S fydy
因為"積分對象不同"

在 df = fxdx + fydy 定義中, dx , dy 是一個微量,
fx, fy是f對x,y偏微,
並不是在前面加積分號就會使等號成立.
並不是在前面加積分號S fx dx 就是一個積分!
fx dx 是一個函數!dx , dy 是一個微量!

引文:

先回覆這一篇,
df = fxdx + fydy
這是f(x,y)全微分式,
所以只有S df 而不是 S df d?? ,這是什麼我也不知道啦。
所以 S [ fxdx + fydy] d??是什麼我也是不知道啦。

我以為我標明了工數後fx是什麼,看的人就會知道,這是我不對造成各位的誤會,fx是f(x,y)對x的偏微分,而fy則是f(x,y)對y的偏微分。

所以若是f(x,y) = c,那 df = 0 ,反過來說
S df = f(x,y) = c。


 2002-10-18 17:57
LeonSun
Just popping in



註冊日: 2002-09-03
發表數: 12


 Re: 一個關於恰當微分的速解法

既然是 S df 那就是對f(x,y)做積分。

還有在 fx dx 中,不是只有fx是函數嗎?

所以我覺得在 fx dx 之前加一個積分符號就是一個積分,如果它不是積分,那就代表在工數課本中的解法是錯的,因為它正是用這一個觀念出發的,

f(x,y) = S fxdx + k(y) = S fydy + h(x)

f(x) = S f ' dx = S df ; f ' 既為f(x)的導函數
所以我的第一個命題就是要問
df = fxdx + fydy
對其個別做積分運算有等於嗎?
S df = S fxdx + S fydy
其結當然是不等於,而是
1/2( t(x,y) + g(x,y) ) = f(x,y)

S fxdx = t(x,y) ; S fydy = g(x,y)


_________________

 2002-10-20 18:25個人資料
訪客








 Re: 一個關於恰當微分的速解法

我知道你所要問的是:
> df = fxdx + fydy
> 對其個別做積分運算有等於嗎?
答案如前述,當然不能等同視之!

我所想提出的是:
> 既然是 S df 那就是對f(x,y)做積分。
> 還有在 fx dx 中,不是只有fx是函數嗎?
這裡 Sdf 是對一群微量 df 作討論,以面積來看,
df如果是一小方塊的量,那 Sdf則表示這一大塊區域的面積值。嚴格的說,對象是df
但是在 fx dx 中,它是fx乘上一個微量dx!
舉例,假設fx是一常量和x無關,看成是一矩形的長,dx看成是寬,那麼fxdx是這矩形的面積,
當有一群這種矩形,若長也隨x變化,則fx已非一常量,而是隨x改變,所以fxdx則解釋為在微小寬度下,這矩形之面積值。所以是對dx討論!

如果只是由 fxdx + fydy 看,它當然不是只有fx和fy兩個函數!而是 fx 與dx 乘積 加上fy 與dy 乘積!
所以當寫出 S fx dx 時,當不光是 fx對x積分,
實質上是 一堆 fx dx 之值總和。 dx 在此就不是想成一個積分號附屬的符號,實質上它是一個和x有關的微量,只是在積分中,當分割夠細,每個dx幾乎可視為一定量,和x無關,才會只看在微小的x變化下fx之值,讓人誤以為就只有一堆fx在積分。符號S fxdx怎麼來的是一個key, 不是一個單純積分而已,應該從它由面積問題產生的方式,為何如此表示來理解它。 否則只是一個積分是毫無意義的。

至於全微分的定義 df =fxdx +fydy也是如此,
不能說因為有上述寫法,我只在兩邊加上積分號就要得到它的解,它是將f的微分定為fxdx +fydy
實際上也是一些討論才有的結果,當你將積分想成逆運算,那積分對象就有問題了!
總不能左邊同時對x,y積分,右邊分別對x與y積分吧!如果是這樣,不會有疑問嗎?



 2002-10-22 10:11
LeonSun
Just popping in



註冊日: 2002-09-03
發表數: 12


 Re: 一個關於恰當微分的速解法

首先我還是謝謝你的回應

我不知道你是在質疑什麼,是否是嚴謹的問題?

如果是,那我已經說過我的描述並不嚴謹,所以你可以停下來了,因為沒有繼續下去的必要性。

如果不是,那我真的想問一下,不知你是在質疑啥?

我所學的是工數,而工數所講求的是它能用,而且它是對的,至於嚴不嚴謹那就交給純數去解決了,我只說僅管我的推導有問題,這沒關係因為已經有另一個合理的推導,所以如果你只是想從我之前的論述來推翻我的結論,很可能會白幫一場。

「至於全微分的定義 df =fxdx +fydy也是如此,
不能說因為有上述寫法,我只在兩邊加上積分號就要得到它的解,它是將f的微分定為fxdx +fydy
實際上也是一些討論才有的結果,當你將積分想成逆運算,那積分對象就有問題了!
總不能左邊同時對x,y積分,右邊分別對x與y積分吧!如果是這樣,不會有疑問嗎?」
全微分是這樣 df =fxdx +fydy 而我所要問的是
S df = or not = S fxdx + S fydy
為什麼我不能直接這樣子表示?
難到我就不能先令一個函數是fx的不定積分
g(x,y) = S fxdx ;(表尚未做積分的動作)
同理
r(x,y) = S fydy ;(表尚未做積分的動作)
然後我再問S df 是不是等於g(x,y) + r(x,y)?
繞了一圈不是又回到了我原來的問題了嗎?

還有時至今日積分的定義早就脫離了面積的慨念,而且早在牛頓和萊布尼茨近乎獨立的完成了微積分時,就已經知道積分和微分亙相逆運算,也就是說在此時積分法就已經脫了只面處理面積的問題。


_________________

 2002-10-22 21:29個人資料
訪客








 Re: 一個關於恰當微分的速解法

Dear Leon Sun,

其實我並無意爭論,我也不認為我在和你爭論,從我第一篇回應(即第四篇用很爛、很爛"數學英文"寫的證明)中,我已很了解你也很清楚S df 和 Sfxdx + S fydy 很不同!
所以為了嚴緊性,證明後才提出這一連串的問題。還有證明中留下待檢查的兩個問題。

主要希望很多觀念可以藉由大家討論中更清楚,當然很多嚴僅性對學工程的人他可能認為“會用”、“沒錯”,“結果正常”就好!但是這在從事研究的人來說是很要不得的。因為我們可能就因此毫無創新,只會拿別人開發好的東西,東改一點,西改一點的拼裝,或仿冒。

很多機會可以接觸到來自別人的問題或激勵,甚至是你回答了某人的問題,重點在過程中讓我們思考,讓我們從中自我成長。

可悲的台灣產業界。走出了學校後,從事研發的人還有多少人肯真正去抱著一本原文說明操作手冊,仔細分析產品可開發的每一種機構?可能日本人說這個東西可以有10種作用,我們的研究人員就只會這10種,也不弄清楚其實手冊上還提到很多鮮為人知,可進一步發展的函數庫,只是讓它從流行中退色,之後只剩原創人知道它還有別種玩法。

謝謝你的問題,也讓我重新回顧了我大學的一些片段!溫故而知新!

 2002-10-23 21:06
LeonSun
Just popping in



註冊日: 2002-09-03
發表數: 12


 Re: 一個關於恰當微分的速解法

謝謝你的回應,你的英文並不差我可以保証。

首先我先向你道個歉,因為你的回覆讓我聯想到了最近我在其它網站上所遇到的人士(那真是一個非常不好的經驗),所以回覆的語氣並不好,所以向你道個歉。

我非常同意你的看法,我在常常在想你所述描的事實,我想應不只國內,國外也差不多,只是他們比我們重視抽象的思考,而不是只會應用就好。

至於嚴謹性的問題,由於我不是學純數所以真的幫不上忙,不過想當初牛頓為了流數(導數)的嚴謹性,提出了一個"終極比值"來描述,微分和積分中無限小的困難,結果問題還是存在,到後來出現了極限這一個概念,來解決這一個困難,由於我是學工程的所以學的不是正統的極限,但是依據我後來所看的一些數學普通讀物(九章出的書很少是普通的),給我的感覺是不管我把範圍縮的如何的小,只要不是零而且其函數的變動值和變數的比值也向一個定值靠近,則我們就說導數存在,這樣子似乎是把問題給解決了,但是我覺它只是回避了問題,把問題給藏起來不去討論也無法討論,因為○除以○是多少,大概只有超越人的東西才知道(雖然覺得是任意值)。

最後還是要向你道個歉,畢盡大家都是對於數學有著一定程度上的興趣,為此破壞感情很不值得。


_________________

 2002-10-23 23:20個人資料


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