同學出了一個題目給我,聽說常常在各處出現,可是我想了半天想不出來...請大家幫幫忙~~ x+y+z=1 x平方+y平方+z平方=2 x立方+y立方+z立方=3 問:x的4次方+y的4次方+z的4次方=?
x*4+y*4+z*4=(x*2+y*2+z*2)*2-2(x*2y*2+y*2z*2+x*2z*2)=4-2[(xy+yz+xz)*2-2xyz(x+y+z)]=4-2[1/4-2 x1/6 x1]=4-2[1/4-1/3]=4-2 x(-1/12)=4+1/6=25/6
以下A後面接的()為下標。令A(n)=x^n+y^n+z^n則A(n)=A(n-1)(x+y+z)-A(n-2)(xy+yz+zx)+A(n-3)(xyz),n>=3A(1)=1,A(2)=2,A(3)=3,A(0)=x^0+y^0+z^0=1+1+1=3(xx+yy+zz)=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)﹔2=1-2(xy+yz+zx),(xy+yz+zx)= -1/2A(3)=A(2)A(1)-A(1)(xy+yz+zx)+A(n-2)(xyz)﹔3=2*1-1*(-1/2)+3(xyz),xyz=1/6A(4)=A(3)*1-A(2)(-1/2)+A(1)(1/6)==25/6本遞迴法利於求一般的x^n+y^n+z^n,但仍須逐一求出前面的A(n)值。
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