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訪客








 數學的精神

有一個老師跟我說:數學的本質,不是在解題,而是在思考,什麼奧林匹克之類的書,對於要唸數學系的人並沒有多大的幫助,而現在之所以考數學,只是為了檢測學生的腦筋好不好罷ㄌ,對ㄌ,那些大陸奧林匹克金牌ㄉ,都是先弄出哪一類的題目要從哪個方向下手,都是要一直做題目,那這樣根本沒有意義嘛,我還蠻認同ㄉ,不知各位看法如何?

 2004-09-14 19:06
訪客








 Re: 數學的精神

您老師的話我同意一半。數學的本質,不是在解題,而是在思考。
這個問題曾引起釵h人的討論。據我們對大陸數學系學生的追蹤調查,曾參加數學競賽者之數學成就遠高於未曾參加者,而最令人驚訝的是,IMO金牌獲得者之數學成就竟低於進入國家集訓隊但未入選國手者。可見過度的操練會扼殺數學的創造力。
雖然我也辦了釵h中小學生的數學競賽,但絕對反對過度操練與超前學習。只要是我自己出的題都是從遊戲或日常生活中改編的,較有創意。並且專門修理那些超前學習又學不精,自以為了不起的考生。
總之,我個人認為適當的參加數學競賽是有好處的。
下文是香港數學奧林匹克委員會主席、香港中文大學數學系岑嘉評教授的文章,請參考。
孫文先敬上

對數學奧林匹克意見的一些回應/岑嘉評

(一)香港學生數學能力不差

最近在英國舉行的國際數學奧林匹克競賽﹐香港隊獲得一金兩銀兩銅的佳績﹐其中十
八歲的余學斌同學﹐更在此項競賽中﹐摘得歷史性的第一面金牌。在全國女子數學奧
林匹克競賽中﹐香港女學生又獲取兩面銅牌。此外﹐十一歲男童林以軒亦在速算法中
﹐打破了健力士紀錄﹐引起不少學生及家長們對數學的興趣﹐不少中小學數學老師亦
深受鼓舞。香港學生的成就﹐說明了香港年輕學生當中﹐有不少對數學有潛質的尖子
﹐如果我們能把數學普及﹐對學生作出適當的培養﹐自然可以提高香港人的素質﹐為
香港將來發展成高科技城市奠下良好基礎。我們不能要求每個人都成為大數學家﹐這
是不可能也不恰當的事﹐但數學的應用越來越廣泛﹐目前已滲透到各行各業﹐學好數
學﹐將會提升邏輯思維和分析能力﹐作為數學工作者﹐其中一個主要的使命﹐就是要
推廣數學並將數學普及化﹐第二個使命就是要發掘數學人才﹐加以培訓及輔導。

(二)丘成桐教授的批評

最近美籍華裔數學家、哈佛大學數學教授丘成桐路過香港﹐他直指不贊成學生學習速
算﹐又批評舉辦了四十三屆的國際數學奧林匹克比賽( IMO)﹐指其金牌得獎者在研
究方面力有不逮﹐且研究範圍狹窄。由於報章以大標題把相關話題作為要聞報道﹐說
不贊成舉辦數學競賽﹐以致有學生和家長來電查詢﹐及表示困擾和失落。雖然丘教授
所表達的不過是他個人的看法﹐從大數學家的觀點及眼光來看速算法亦無不妥。事實
上﹐速算是一種計算技巧﹐大家都知道﹐速算不等同數學﹐但從另一角度來看﹐林以
軒小朋友﹐年僅十一歲已能表現出驚人的計算能力﹐對數字敏感而又有快速反應﹐如
果能對他給予適當的培養﹐說不定將來也可以成為優秀的數學家﹐因此﹐我們應該給
予他正面的鼓勵﹐希望傳媒不要藉丘教授的一席話而對他大潑冷水。我們希望他能夠
在數學上更進一步﹐脫穎而出﹐並考入香港數學奧林匹克隊﹐與世界各地數學精英砥
礪切磋﹐日後成為數學家。正是長江後浪推前浪﹐一代新人換舊人﹐香港需要積極發
掘有潛質和培育有用的人才。

(三)奧數選手多成為一流數學家

至於在國際數學奧林匹克競賽( IMO)或其他數學競賽中﹐取得獎牌的選手﹐是否真
的一如報章所載丘教授之言﹐在研究方面力有不逮﹖我個人認為﹐丘教授所碰見的情
況﹐可能是很個別的情況﹐或者傳媒對他的話有所誤解。事實上﹐好比赤兔馬不遇關
羽﹐亦無所發揮。在紀錄上﹐大部分在國際數學奧林匹克獲得獎牌的學生﹐日後有不
少成為大數學家﹐例如下列獲費爾茲獎( Fields Medal)和 Nevanlinna Prize(與
計算機和資訊科學有關的數學大獎)的數學家﹕

1959年 IMO銀牌得主 Gregory Margulis於 1978獲費爾茲獎

1963﹣ 66年金牌及銀牌得主 Laszlo Lovasz﹐於 1999年獲沃爾夫大獎(數學最高大
獎)﹐ Lovasz並於 1965及 1966年連續兩年取得 IMO特別獎

1969年 IMO金牌得主 Valdimir Drinfeld於 1990獲費爾茲獎

1974年 IMO金牌得主 Jean﹣ Christophe Yoccoz於 1994獲費爾茲獎

1977及 1978年 IMO金、銀牌得主 Richard Borcherds於1998獲費爾茲獎

1981年 IMO金牌得主 Timothy Gowers於 1998年獲費爾茲獎

1985年 IMO銀牌得主 Laurant Lafforgue於 2002年獲費爾茲獎

1977年 IMO銀牌得主 Peter Shor於 1998年獲 Nevanlinna Prize

1979年 IMO金牌得主 A Razborov於 1990年獲 Nevanlinna Prize

(註﹕丘成桐教授於 1982獲費爾茲獎)

1986年 IMO金牌得主 S.Smirnov得 2001年 Clay數學研究獎

1990年 IMO金牌得主 V.Lafforgue得 2000年歐洲數學聯盟數學獎

再者﹐不少現任哈佛大學講座教授(數學)﹐亦曾參加 IMO競賽﹐如

Noam Elkis:1981 IMO 金牌

Peter Kronheimer:1981 IMO 銀牌

Richard Taylor:1980 IMO 選手

而在國際數學奧林匹克舉辦之前已有的美國普特南( Putnam)數學競賽( 1938年開始
)﹐其得獎人成為大科學家的更不勝枚舉﹐例如﹕

Richard Feynman獲 1965諾貝爾物理獎

Kenneth Wilson獲 1982諾貝爾物理獎

John Milnor獲 1962費爾茲獎

David Mumford獲 1974費爾茲獎

Daniel Quillen獲 1978費爾茲獎

當年在匈牙利數學競賽( IMO前身)中脫穎而出並創「鴿巢原理」的神童 Paul
Erdos其後獲得數學界最高的沃爾夫獎( Wolf Prize等同於諾貝爾獎﹐我國偉大數學
家陳省身教授亦獲頒該獎)﹐歷史留名的匈牙利數學家如 Halmos、 Fejei、 Von
Karman、 Harr、 Riesz、 Rado均於年輕時在匈牙利中學數學競賽中有優秀表現。

拿到菲爾玆獎後﹐再獲得 Wolf獎的有 Atle Selberg﹐ K.Kodarie(小平邦彥)﹐
Jean﹣ Prerre Serre﹐ John Milnor﹐ L.Hormander等。而 Andrew Wiles因年過四
十歲﹐才解出費馬大定理﹐故得 Wolf獎。此外﹐英國軍事情報局的解碼專家 Cocks及
Williamson亦在 1968年 IMO中分別獲得金牌及銀牌。所以說國際數學奧林匹克得金獎
的選手在研究方面﹐力有不逮或研究方面太狹窄﹐這是不夠客觀的說法。


(四)華羅庚與數學競賽

我國自 1986年開始參加國際數學奧林匹克﹐近幾年來﹐均勇奪冠軍。相信二十年後﹐
這批金牌選手﹐若能繼續專攻數學並得到悉心栽培﹐亦可以在數學界中發出異彩。所
以陳省身教授說﹐二十一世紀﹐中國可以成為數學大國。數學大師華羅庚﹐少年時就
擅長心算﹐他曾獲得上海市珠算比賽第一名﹐擊敗銀行職員與錢莊夥計。可以說是中
國的第一屆數學競賽冠軍。華羅庚在其有生之年﹐一直十分鼓勵數學競賽。據我所知
﹐華羅庚的學生龔昇教授﹐就是上海市數學競賽的優勝者。目前﹐中學數學競賽都在
全國各省市舉辦。中國數學會更特設有「華羅庚金杯」﹐以鼓勵及透過數學競賽活動
推動和普及數學教育。

大家或者會問﹐為什麼國際數學奧林匹克的參賽者只限於中學生﹖這是因為不少人對
學問的真正興趣均始於中學時代﹐所以在中學舉行數學競賽可以激發學生研讀數理科
的興趣﹐吸引他們將來加入與數學有關的行業。何謂天才﹖華羅庚說過﹐「聰明在於
學習﹐天才在於積累。」釵h科學家、數學家﹐他們要得出成果﹐都須努力不懈﹐經
歷無數失敗﹐走了不少彎路才可以成央C林以軒小朋友﹐亦是經過苦練﹐才取得速算
冠軍。從來沒有不經過刻苦操練﹐一覺醒來便譽滿天下的事。丘教授說得很對﹐人生
漫漫長路﹐人的成就﹐不到輕獺M不能定論。所以我會委員經常鼓勵同學﹐要抱著屢
敗屢戰的精神﹐勝不驕敗不怯﹐最重要經常抓住機會學習﹐做到熟能生巧﹐不畏困難
。失敗並不可恥﹐只要盡了自己的能力﹐絕對有面目見江東父老﹐更不應斤斤計較閒
雜人的一些閒言冷語。

(五)數學競賽的起源與精神

國際數學奧林匹克(簡稱 IMO)源起於 1959年﹐當時羅馬尼亞邀請東歐六國派出由高
中學生組成的隊伍參與其提議舉辦的數學競賽﹐自此以後﹐這項每年舉行一次的賽事
便是沿襲至今的國際數學奧林匹克。這個解數學難題的競賽更成為中學生的數學領域
中的一件大事。 1956年芬蘭成為第一個參與該項比賽的非東歐國家。英國、意大利和
瑞典相繼於 1967年參與競賽﹐而美國和中國則分別於 1974年和 1986年加入。香港也
在 1988年首次派隊參加﹐並於 1994年在香港舉辦第三十五屆 IMO。 2002年第四十三
屆 IMO的參賽國家及地區已增至 84個。於 1981年國際數學教育委員會(
International Commission on Mathematical Instruction [ICMI])籌辦建立 IMO場
地委會協調 IMO的活動。自始 IMO更進一步與數學教育連繫﹐並在多方面提高青少年
的數學能力。

IMO的目標包括﹕

◆為全球有數學天份的年輕人提供一個聚首的地方﹔

◆鼓勵教師就數學教育發展交流經驗﹔

◆為教師和學生建立友善的人際關係從而對增進國際間的諒解作出貢獻。

(六)香港委員會的工作

本會每年均甄選一群在數學有表現的同學﹐為他們安排增益培訓課程﹐講授平面幾何
、組合數學、基礎數論及講解在數學競賽中出現的一些有趣而精闢題目﹐和帶領香港
隊參加每年的 IMO。我們的服務純屬義務及出於自願﹐經過十多年的爭取﹐政府最近
已承諾支付學生出外比賽的機票。我們的委員會成員來自各大學數學講師、教授和中
學教師﹐他們均以工餘時間承擔義務培訓工作﹐縱然艱辛﹐仍覺得這是很有意義的工
作﹐希望社會各界朋友能對香港的數學教育事業作出正面和積極的支持。

 2004-09-17 22:32
訪客








 Re: 數學的精神

孫老師;
可是愈是尖端的數學競試,除了參賽者先天的資質外,誰下的奶狾h誰致勝的機會就大。而下的奶狺ㄥ只在於把該領域的數學學「通」,還要求必須具備精、準、速的能力,過度的「練習」就是常有的事了。我所認識的一個國中生他就擁有上述的條件,聰慧加上勤學,他也一路超前學習,可是從小學迄今在公、私單位所舉辦的數學競試場中,為了保持永久的優勢,他仍為了比賽而不斷回頭練習,一本又一本的數學題,從台灣做到大陸,從代數做到幾何,熟習各種題型以符合比賽所要求的「精、準、速」。他的確做到了,但是這樣的發展對這個孩子會是最好的嗎?適度的參加比賽已不是他能獨自決定的事,最高榮譽是多麼迷人,大人都難以抗拒更何況是孩子,一年好幾次年年都在比,父母、師長那一個不是等待著他一次又一次的為大家帶來耀眼的光環。目前他仍不斷的在練習,近程是眼前的大大小小競試,遠程是高中的國際奧林匹亞數學金牌。但是這麼好的孩子真的找到他最好的一條路了嗎?比完奧林匹亞再來呢?而所謂的「超前學習」是指超出年級還是能力?如果他的能力範圍內已能學通所謂「超前」的部份,何妨善用這份能力往左、往右、往前看,學習是永久的,擴大學習領域對他將來的發展是多麼好的奠基,為比賽回頭不斷的練習是不是很可惜呢?可是我相信他放不下,他周圍的人也放不下。如果他是您的學生,您會為他規劃出怎樣的一條路呢?
我也看到這樣一個孩子,喜愛數學從生活中開始,他玩數學玩具可以從0歲玩到99歲,廣泛的嬝盲ずヴ挭y,每階段的進階只因水到渠成。他極少做數學練習,紙筆測驗所要求的「精、準、速」他並不完全具備。正巧他的熱愛數學也不需要藉由「金牌」的榮耀來維持。他也一路超前,而這「超前」對他並不具任何意義,學通數學只是他深入各個領域的工具,數學競賽玩票式的偶有參加,也曾得過不錯的成績,但它並不是他繼續學數學的動力。在這個階段我們看不到他的成就,比起前一個小孩他的發展可能會讓一些大人扼腕,而深入了解他的人卻會發現他多麼快樂,成就雖然不在現在,只要他繼續熱愛數學誰又能料定他的成就不在將來?

 2004-09-18 10:02
訪客








 Re: 數學的精神

我認為你的看法很有見解。這是一個值得與年輕學生討論的問題。

一生當中在學校學數學的時間有限,大多數的學生離開學校就停止學習,也忘記了數學這個很重要的工具,除非他的職業需要,或是有興趣,否則就停止學習,在日常生活中幾乎忘了它的存在!

我們想想拿掉考試、比賽,數學還剩下什麼?
其實,數學是無所不在的,有了好的思考習慣與處理問題的邏輯,將會漸少很多犯錯的損失,也可以趨吉避凶,這對人的一生很有幫助!

好的計算能力與數字處理能力,可以把事情衡量得比較精準,誤差少,風險自然降低。無論作生意、投資買賣、家計生活,都有幫助!

數學是人類智慧的珍貴累積,我欣賞它的乾淨俐落,千百年來始終為人類的全體福祉而服務,因此學數學對現代人有高度的意義。

仔細觀察、思考、運用數學知識,解決生活中、工作上的問題,獲得比較好的成果。而在年輕的時候養成這種能力、習慣,是很美好的,這是我認為的數學精神。

 2004-09-18 21:26
訪客








 Re: 數學的精神

這是個很值得深思的問題。
我們都知道運動、音樂、圍棋,...對於學童都是有益的,但當我們在推動民眾參與這些活動時,最好的催化劑就是競賽的榮譽。
我經常告訴學生及家長要用正確的態度來參加數學競賽及科展,要為喜歡數學而參加而不是為得獎或升學而參加。促進大眾熱愛數學的手段很多,數學競賽只是其中比較受歡迎及有效的方式之一,我建議所有競賽應該與升學脫鉤,所有體育奧林匹克金牌應該與獎金脫鉤,歸還數學及體育純樸的面貌。

不過話說回來,在當今學童的企圖心薄弱的情況下,能有人肯寒窗苦讀立志得牌,我們何忍苛責他們?
數學競賽得獎者,他們已成為社會大眾矚目的焦點,大眾以超乎人性的標準衡量著他們,他們的任何誤失將成為大眾茶餘飯後嘻笑的話題,誰能了解他們內心的壓力?他們只能咬緊牙根奮力向前。

喜歡數學的人已經少之又少了,不管他們的動機,不管他們的手段,我們應當盡力支持他們,並設法把他們引入正途。

孫文先敬上

 2004-09-19 11:03
訪客








 Re: 數學的精神

我想提出一個問題:現今奧林匹克奪牌的選手不大都是做了很多的題目,然後歸納出哪一類的題目要用什麼解法,但這樣是數學的精神嗎?例如尤拉,應該是史上最會解題的人了,但卻不是史上前10大數學家的其中之1,而且,若要參加較高深數學競試,被釵h的公式在所難免 ,但這樣有意義嗎?就像3角函數,那些公式被了並不會使自己能力增強,但為了應付考試,我們卻不得不被,而且若真的對數學有興趣,應該把弄競賽的時間拿來做一些對數學能力更有幫助的事不是嗎

 2004-09-19 21:51
訪客








 Re: 數學的精神

事實上我個人覺得這還是自己的問題
如果有人為了會比賽淨是研究這些
那麼沒有比賽我想他也不會改善

有一陣子我也是個企圖心重的學生
什麼書都讀就算不見得都想看
想要加強自己的實力
只是效果不彰

後來漸漸有些厭煩
為什麼從前喜愛的科目現在也失去興趣了呢?
原來是因為從前我都是玩數學,弄數學
不為了科展沒進度而慌亂
不為了自己知識貧脊而硬讀

於是漸漸的我回到從前的情況
從此才突飛猛進
感覺到自己對數學的認識更深了很多步
附加而來的是遇到比賽的題目時變的更有創意
不再害怕遇到環球時幾個小時一愁莫展
一切像是奇蹟一般


分享我的經驗希望對大家有所幫助

 2004-09-19 22:19
訪客








 Re: 數學的精神

歐拉稱不上是10大數學家嗎?看來你對歐拉的認識不夠深喔......

 2004-09-19 22:35
訪客








 Re: 數學的精神

那不是重點,而且歐拉絕對不是

 2004-09-19 23:55
yani
Quite a regular



註冊日: 2004-06-08
發表數: 43
Taipei

 Re: 數學的精神

歐拉(Euler)不是前十名數學家﹖
那在他之前的十名以上數學家是誰﹖

 2004-09-20 00:40個人資料
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