試證明 :
0和1之間,所有實數的數量,與 0到無限大之間,所有實數的數量相等!!

因為0和1之間有無限個實數
0和無限大之間也有無限個實數
故証出

但是我覺得我上面的證明不對

0到無限大之間，所有實數的整數和小數分開，如：123456789012.3456789→123456789012和3456789
然後再把這兩組數字互相穿插在一起，如：
123456789012和3456789→13243546576879809000102
最後再這串數字前面將一個0.，如：0.13243546576879809000102
如果照這樣排，0到無限大之間所有的實數都可以和0和1之間所有的實數互相對應。

0和1之間所有的實數可以用sin(x)表示(０〈x〈1)
0到無限大之間所有的時數可以用tan(y)表示(0〈y〈1)
因為x和y都在0和1之間，所以x的數量和y的數量相等，sin(x)數量也一定和tan(y)，就可以證明0和1之間所有實數的數量，與 0到無限大之間所有實數的數量相等。

x~x ,1-1and onto , x belongs to R
then f(x)~x ,1-1 and onto
then f(sinx)~x ,1-1 and onto
∴ f( [0,1] )~x ---(1)
by the way,
f(tanx)~x
then f( [0,∞] )~x ---(2)
by (1),(2)
∵x~x
∴f( [0,1] )~f( [0,∞] ) # by 前墮落的學生

這個問題在大學數學中是基本的問題,
就高中生而言就不知道了,因為不知高中
是否有談到如何比較無限集合的多寡.
這題主要的觀念是
在有限的個數中要比較多少,只要數一數就可知.
但是如果兩集合都是無限,
就定義而言你要找出一個一對一的對應
才可宣稱兩集合數量一樣多.
例如(0,1)和(0,2) 是一樣多,可由 y=2x
即(0,2) = 2 (0,1) 1 對 1 得知.
再例如 (0,1) 和 (1,infinity) 一樣多 y=1/x
所以(0,1) 和 (0, infinity) 一樣多 y=tan(x*pi/2)
x= 0 y = 0 , x=1 y=tan(pi/2)=infinity
且是一對一.

題外話,有關這方面的問題(cardinal,ordinal,
countable infinity,uncountable infinity等等),
九章應該有出版這方面的書,看一看就可充分
了解.

沒錯..
用f(x)=x和f(x)=1/x
是可以更快的解釋..
但是其最後結果會變成..
負無限大到無限大~ -1到1 之間
且0並不包括...因為f(x)=1/x..
故我選擇用三角函數較符合題目吧..=.=
by 前墮落的學生

sorry..筆誤..
應該是[0,∞)...
by 前墮落的學生