2004秋季賽題目:設P(x)及Q(x)均為非常數的多項式。對於每一個x,都有P(P(x))=Q(Q(x)),且P(P(P(x)))=Q(Q(Q(x)))。請問是否能保證P(x)=Q(x)?此題乍看之下非常的簡單,想一想配分有點多,其中必定有詐,才發現它的深奧。考中學生似乎是過份了些。我覺得。
如果 P(P(x)) 的領導係數是奇次那就涵誘F整個 R 可以由 P(P(P(x)))=Q(Q(Q(x)))=Q(P(P(x))) 一下得證如果是偶次就設 P(x)=Q(x)+r(x)當 x 在 P(P(x)) 值域中時P(x)=Q(x)即 Q(x)+r(x)=Q(x),r(x)=0有無限多根所以r(x)=0於是 P(x)=Q(x)
不懂
他是說設P(x)=Q(x)+R(x)由於Q(Q(x)) =P(P(x)) 且都是多項式那麼它的值域會有無限多元素而Q(Q(Q(x))) =P(P(P(x)))把 Q(Q(x))=P(P(x)) 都用 k 代則有無限多個不同的 k 使得 P(k)=Q(k)即Q(k)+R(k)=Q(k)即R(k)=0無論如何 R(x) 的次數是有限的具有無限多零根顯示了 R(x)=0所以 P(x)=Q(x)+R(x)=Q(x)+0=Q(x)
和我寫得一樣。不過我在考試時想了好一會兒,沒想到大家一眼就看穿了。數學素養不夠,有待加油.......