說明不夠清楚，請寫詳細些。

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孫文先 敬上

第一題

一開始有68個
兩個兩個秤
可以秤出較重的34個和較輕的34個
(用34次)
再用一樣的方法秤出較重的34個
可秤出較重的17個
(用17次)
較輕的34個也可以用相同的方法分群
可秤出較輕的17個
(用17次)
目前使用天平68次
最重的一定在最上面那17個中
最輕的一定在最下面那17個中
然後…..
在某17個中
先分離一個
剩下16個
所以要在17個中找出最重或最輕需要8+4+2+1+1(16次)
要在最重的17個中找出68個中最重的需要16次
同理要在最輕的17個中找出68個中最輕的需要16次
所以共需要68+16+16=100

3)
把32個硬幣平分成四堆
A B C D
8 8 8 8
先拿其中兩組來量，設為AB
再拿BC來量
1.若A=B=C，則二假幣皆在D
2.若ABC中有一者不同，假設為B，則假幣分布情形有一、AC各1 二、BD各1 三、B2個

呈情況1.將D在平分成四堆，設為

X Y Z W
2 2 2 2

先拿其中兩個測，設為XY
再拿另兩個ZW測
則只會產生四種情況
1.x=y且z=w →則將yz和xw分開即可
2.x≠y且z=w →則分成兩組各有一xy
3.x=y且z≠w →則分成兩組各有一zw
4.x≠y且z≠w →則將xy歸為一組zw歸為一組即可

呈情況2.
將B分成
J K L M
3 3 1 1
先拿JK測

Ι.若j=k，則再拿LM測

一、若L=M則將(JLA)分為一組，(KCM)分為一組即可得
二、若L≠M則將BC分開即可得(且可得之為LorM何者為假)
ΙΙ.若J≠K則可得知何組有假，再將其分為111
取其二測
1.若二者相等則將其二者分開並將剩下那個和D分開即可得
2.若兩者不相等則將未秤者和D歸為一組並和其假的分開便可得

1.有68枚重量互不相同的硬幣，用天平在100次內要找出最重和最輕的硬幣，試說明該怎樣來做。（1985 Spring, Junior O-Level 2.）
解：a.每次放兩個秤重，並把較重與較輕的分成兩堆，每堆各34個，如此需秤34次。
b.如同PK賽，在較重的那堆中先拿兩個比重並留下重的那一枚，接著再取一枚與其比重，同樣是較重的留下，如此循環直到最後一枚留下者即為最重，如此需秤33次。
c.同理，輕的那一堆就比輕，最後留下者即為最輕，如此也需33次。
d.34+33+33=100
2. 給定61枚外表相同的硬幣。其中有兩枚重量相同的假幣，其餘59枚是重量相同的真幣。已知假幣與真幣重量不同，但並不知道一枚假幣與一枚真幣哪一個較重。如何用一架天平進行三次秤量了解到底假幣較重，還是較輕？（並不要求將假幣從真幣中區分出來。）（1990 Spring, Junior O-Level 4.）
解：先取出一枚並將剩餘的60枚分成兩堆去秤，
a.若等重，則表示兩堆中假幣剛好各一個，任取其中一堆將其再平分成3堆，先取兩堆比重…
A.若等重 ，則假幣在第三堆，取其與先前兩堆中任一堆相比即知假幣的輕重。
B.若不等重，則第三堆是真幣，一樣任取一堆（但要注意是輕還是重的那一堆，假設取重的）與第三堆比重，若與第三堆等重表示這堆也是真幣，所以剩餘輕的那堆就有假幣，可知假幣較輕；若與第三堆不等重就表示這堆有假幣且假幣較重。
b.若不等重，則假幣在兩堆中的一堆，先任取一堆，但要注意是輕的還是重的那一堆，假設是輕的那堆，將這30枚硬幣平分成3堆，再來取其中兩堆比重，則…
A.若等重，有兩種狀況，一為兩堆皆為真幣、另一為兩堆各含一枚假幣，不論如何取第三堆與其中一堆相比，若仍等重則此堆全為真幣，並可知另外那30枚有假幣且較重；反之，若不等重則表示假幣就在所選取的這30枚中且較輕。
B.若不等重則表示假幣就在所選取的這30枚中且較輕。
3.己知在32個外觀相同的金幣中有兩個是假幣，這兩個假幣的重量與真幣的重量不同（每個真幣的重量都相等；兩個假幣的重量相等）。假若至多只能用天平秤4次（天平只能顯示兩堆金幣中，哪堆重量較重，或兩堆重量相等）。試問：如何將這32個金幣分為重量相等的兩堆？（2000 Autumn, Junior O-Level 4.）
解：將32枚硬幣編號A1.A2……A32平分成兩堆各16枚（A1~A16）（A17~A32）並秤其重，
a.若兩堆各含一枚假幣，則等重。（這未免也太好運了吧）
b.若不等重（假設左重右輕），表示2枚假幣全在其中一堆，將這兩堆再各別分成兩堆每堆8枚--假設天平左邊是a.（A1~A8） b.（A9~A16），右邊是 c.（A17~A24） d.（A25~A32），將a與c互換位置…，可得到三種狀況---A. 左右等重 B. 形成左輕右重 C. 仍維持左重右輕
A狀況表示a或c含一枚假幣，到此即可成央C
B狀況表示a或c含二枚假幣，b與d皆為真幣，留下a與c，如前所述之動作各別再平分成兩堆每堆4枚，兩邊再交換一次，同理，也有ABC三種狀況，除了A狀況外BC皆代表2枚假幣在其中一堆，差別在於是在交換的那兩堆還是未交換的兩堆中，所以不論狀況是B或C皆拿走真幣留下含有假幣的兩堆，再如法操作一次，若仍無法形成A狀況，則因為此時剩餘的兩堆都是2枚，表示其中一堆是2枚真幣另一堆是2枚假幣，只要互換一枚仍然可以達成目標。
C狀況表示a與c皆為真幣，將其拿開，再將剩餘的b與d各別再平分成兩堆每堆4枚………，其餘如B中所述。

4.小凱有4個外觀相同的錢幣，小明告訴小凱說，這4個錢幣中有二個是真的、二個是假的。已知每個真幣的重量都相等，每個假幣的重量也都相等，而且一個真幣比一個假幣重。試問：小凱能不能最多只用天平秤兩次，就確定小明說的話到底對不對（也就是說確定小凱的4個錢幣到底是不是恰好有二枚真幣、二枚假幣）？（註：天平無法顯示刻度）（200l Autumn, Junior O-Level 3.）
解：先取兩枚比較…..
a.一樣重，表示這兩枚都是真幣或都是假幣，接著將這2枚放在天平同一側，另2枚放在另一側，若仍等重則表示有4枚真幣或4枚假幣所以小明說的話不對；若不等重則原先的兩枚若較重就表示真幣至少2枚（有可能三枚），原先的兩枚若較輕就表示假幣至少2枚（也有可能三枚），無法確定小明的話對不對。
b.不一樣重，如同題目所述，重為真，輕為假，一樣將這2枚放在天平同側，另2枚在另一側，若等重，表示恰好2枚真2枚假，小明說的話是對的；若不等重，則若原先2枚較重就代表另2枚是假幣，所以有3枚假幣1枚真幣，反之，就有3枚真幣1枚假幣，因此小明說的話不對。
這一題目前想不出其他方法 就先降子

打了好久 眼睛都花了 就先這四題 不知道大家看不看得懂

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孫文先 敬上

5. (1)有二種不同重量的金幣共128枚，每一種各64枚。試問：如何使用沒有刻度的天平，在秤不超過7次的惰形下，找出二枚不同重量的金幣？

解：先將其編號1~128，底下重幣稱為A輕幣稱為B，先假設一開始不等重……
第一步：若不等重，則重的一方A必超過32枚且B小於32枚，而輕的一方B必超過32枚且A小於32枚，左右兩方各取半數做第二次比重。
第二步：若等重，則左右兩方各自剩餘的另外32枚硬幣一定不等重，（因為若x＞y，則x－w＞y－w，當然w是正整數），把剩餘的另外32枚各自取半數做第三次比重；若不等重，則如同第一步各自取半數做第三次比重。
第三步：如前述，若等重則左右剩餘之16枚一定不等重再取其半數做下一步比重；若不等重則直接取半數做下一步比重。依照上述步驟，只要保持一遇到等重就從來源的另外半堆再取半數比重則64---32---16---8---4---2---1，當到達第7步時，左右兩方各秤1枚，若仍等重，同樣地剩餘的另外2枚剛好1A1B，如果是一直是不等重，左右兩邊可能是（1A1B & 2B）或（2A & 2B）或 (2A & 1A1B)，不論何種，只要左右各取1個做第七次比較，若等重，則剩餘的另外2枚一定是1A1B。
此外，若一開始即等重則兩方各有32A與32B，任取其一做第二步；一直到左右出現不等重則剩餘做法如前述，若一直都等重，那到最後一定是1A1B。

(2)有二種不同重量的金幣共8枚，每一種各4枚。試問：如何使用沒有刻度的天平，在只秤2次的情形下，找出二枚不同重量的金幣？（2002 Spring, Junior O-Level 5.）

解：假設8枚金幣分別為4A4B，先將金幣平分成2堆每堆各4枚，並放在天平兩端秤重……
1.一樣重：則每堆皆有2A2B，任取一堆將其再平分成2堆秤重，若仍等重表示每堆各含1A1B，任一堆皆有兩枚不等重之金幣；若不等重表示一堆為2A另一堆為2B，則在兩堆中各取一枚即可找出兩枚不等重的金幣。
2.不一樣重：則兩堆中一堆為3A1B另一堆為3B1A，從兩堆中任取一堆並將其平分成兩堆再做第二次秤重，結果必為不等重，所以取的若是較重的一堆則第二次秤重後輕的那堆即為1A1B；若取的是較輕的那堆，則較重的那堆即為1A1B。

6. 已知有六片重量都不相等的乳酪可以分為二堆，每堆各有三片，且總重量相等。假設對於任何二片乳酪，我們都可以經由目測明顯地分辨出何者較重。試問：如何使用沒有刻度的天平只秤2次，就可以把這六片乳酪分為各有三片，且總重量相等的二堆？（2002 Spring, Senior O-Level 3.）

解：依題意可先用目測分辨出6塊乳酪的輕重，並由重到輕將其假設為A1、A2、……、A6，則若分為二堆各有三片，其分法有8種：
1.（A1、A4、A6）和（A2、A3、A5）
2.（A1、A4、A5）和（A2、A3、A6）
3.（A1、A3、A6）和（A2、A4、A5）
4.（A1、A2、A6）和（A3、A4、A5）
5.（A1、A5、A6）和（A2、A3、A4）
6.（A1、A3、A5）和（A2、A4、A6）
7.（A1、A2、A5）和（A3、A4、A6）
8.（A1、A2、A3）和（A4、A5、A6）
其中第6、7、8組明顯左邊的組合較重，故排除。
剩餘的1~5組中左邊第4組比第3組重、第2組比第1、第5組重，故將其重新排序可得以下
1.（A1、A2、A6）和（A3、A4、A5）
2.（A1、A3、A6）和（A2、A4、A5）
3.（A1、A4、A5）和（A2、A3、A6）
4.（A1、A4、A6）和（A2、A3、A5）
5.（A1、A5、A6）和（A2、A3、A4）
其中第2與第3組可以調換位置，以上述為例，做法是先比較第2組：若左方較輕：則只剩第1組的組合方式可以使左邊變重，所以答案為第1組。
若左方較重：直接比較第四組，結果有3種，如下：
若左方仍重，能使左邊變輕的組合只剩第5種。
若左方較輕，則比第2組輕而比第4組重的只有第3組。
若一樣重，第4組即為答案
若一樣重，第2組即為答案
若（A1、A3、A6）、（A2、A4、A5）與（A1、A4、A5）、（A2、A3、A6）調換順序，作法仍同上。

7. 有一組砝碼，其質量均為2的冪次方：1克、2克、4克、…等等，其中有些砝碼可以有同樣的質量。在一架天平的兩邊放上一些砝碼，使兩邊平衡。已知左邊的砝碼是各不相同的。證明：在天平右邊的砝碼個數不會少於左邊的個數。（1988 Spring, Junior A-level 4.）

解： 2^n+1 －（2^0＋2^1＋2^2＋………＋2^n）＝2^nX2 －（2^0＋2^1＋2^2＋………＋2^n）＝2^n －（2^0＋2^1＋2^2＋………＋2^n-1）＝2^n-1X2 －（2^0＋2^1＋2^2＋………＋2^n-1）＝2^n-1 －（2^0＋2^1＋2^2＋………＋2^n-2）＝2^n-2X2 －（2^0＋2^1＋2^2＋………＋2^n-2）＝……………＝2^0X2－2^0＝1
由上述可知2的冪次方依序相加之和比2^n+1之值小1，所以依照題意當左邊砝碼各不相同，右邊的砝碼不可能是比左邊最高次方多1之2的冪次方之數，因此只能用與左邊相等或比其小之砝碼，故在天平右邊的砝碼個數不會少於左邊的個數。

8. 滿足以下要求的一組砝碼被稱為一個基本組：
(A)組中每個砝媽的重量都是整數。
(B)組中所有砝碼重量的總和等於200。
(C)任何不超過200的整數重量都可用組中唯一確定的一些砝碼通過天平秤出（「唯一」的含義不涉及到用來秤重的砝媽的排列次序，也不涉及到在兩個等重的砝碼中選用哪一個—假若有這種選擇的可能，且規定秤的時候，物體放一邊，砝碼放一邊）。
(1)顯然200個重量為1的砝碼組成一個基本組。試舉出不同於這種簡單情形的另一個基本組。 (2)總共有多少個不同的基本組？（1990 Spring, Junior A-level 6.）

解：我想這應是正整數的完備分拆，所以……
（1）兩個1，66個3。
（2）【200個1】，【兩個1，66個3】，【66個1，兩個67】，共3組。

10. 是否存在k個整數克重的砝碼（不同砝碼可能有相同重量），用天平可以秤出從1克到55克重的任何物體，甚至少了幾個砝碼也能做到這點。對下面兩種特殊情形存在嗎？（規定秤的時候，物體放一邊，砝碼放一邊。）
(1)k＝10，少了任何一個砝碼。
(2)k＝12，少了任何兩個砝碼。（1993 Autumn, Junior A-level 6.）

解：（1）因為少了1就無法秤出1克的物體所以1有兩個，同樣也無法表達2，因此必須有一個2，又少了2無法秤出3克故必須有一個3，接下來4無論少哪一個皆不影響，但少3不能秤出5所以就應有一個5，依此類推可淂1，1，2，3，5，8，13，21，34，55。
（2）同第一題的推論方式，1必須有3個，所以得到……
1，1，1，2，3，4，6，9，13，19，28，41

不知道上述之法是否正確希望大家不吝指教
第9.11.12及練習題下回吧 加油

1.
一、分成34組，每組2個。
二、一組一組秤，秤完重的放左堆，輕的放右堆。秤了34次。
三、左堆中，先取2個秤，輕的淘汰，留下重的再另拿一個比較，以此類推，直到剩一個就是最重的。秤了33次。
四、右堆中，先取2個秤，重的淘汰，留下輕的再另拿一個比較，以此類推，直到剩一個就是最輕的。秤了33次。
共秤了34＋33＋33＝100次。



5-2
一、有a,b,c,d,e,f,g,h八枚。分成{a,b,c,d}和{e,f,g,h}兩堆。
二、取{a,b,c,d}，分成兩邊{a,b}和{c,d}，拿去秤。(第一次)
若 一樣重：取{c,d}，分成兩邊c和d，拿去秤。(第二次)
1.一樣重---{a,b,c,d}中取一，{e,f,g,h}中取一。
2.不一樣重---即這兩個。
不一樣重：取a和c去秤。(第二次)
1.一樣重---即b和d。
2.不一樣重---即這兩個。

由 ARGY2K 於 2005-03-13 23:09:54
設四枚錢幣為ABCD
第1次：AB-CD
第2次：AC-BD
(1)AB-CD相同：
-(1-a)AC-BD相同：不對 ==> 當A=D≠B=C時，不合！
-(1-b)AC-BD不同：對
(2)AB-CD不同
-(2-a)AC-BD相同：對
-(2-b)AC-BD不同：不對
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壹　Ａ＋Ｂ＝Ｃ＋Ｄ
......壹壹 Ａ＝Ｂ　得知：不對 ==> 簡單反而好
......壹貳　Ａ≠Ｂ　　 得知：對
貳　Ａ＋Ｂ≠Ｃ＋Ｄ
......貳壹　Ａ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｄ 得知：對
......貳貳　Ａ＋Ｃ≠Ｂ＋Ｄ 得知：不對