為什麼平方數這麼神奇？

(a^2+b^2+c^2+d^2)(e^2+f^2+g^2+h^2)
=(ae+bf+cg+dh)^2+(af-be+ch-dg)^2+(ag-bh-ce+df)^2+(ah+bg-cf-de)^2

將任意正整數A提出最大平方數與其他質因數之乘積
令A=x^2*p*q*r......
若對任意質數p,q,r....恒能表示成
p=a1^2+b1^2+c1^2+d1^2，q=a2^2+b2^2+c2^2+d2^2，r=a3^2+b3^2+c3^2+d3^2........

則p*q=(a1^2+b1^2+c1^2+d1^2)(a2^2+b2^2+c2^2+d2^2)=a^2+b^2+c^2+d^2

p*q*r=(a^2+b^2+c^2+d^2)(a3^2+b3^2+c3^2+d3^2)=a'＾2+b'＾2+c'＾2+d'＾2

如此A=x^2*p*q*r......可表示為四個平方數之和
已知2=1^2+1^2+0^2+0^2
因此只要證明任一奇質數可表示為四個平方數之和即可(四個平方數為正整數或0)

如果你是國中小生，建議您做以下檢驗即可．
檢查任意正整數，發現其中某些數無法表示成三個平方數和
7,15,23,31,39,47,55,63,..................
28,60,92,124,156,188,220,..............
112,240,368,496,624,752,880,...........
這些數可以歸納成4^m(8k+7)的型式
換句話說，4^m(8k)，4^m(8k+1)，.....4^m(8k+5)，4^m(8k+6)
是可以表示成三個平方數和
而4^m(8k+7)=4^m(8k+6)+4^m=a^2+b^2+c^2+(2^m)^2
因此任意正整數，皆可表示成四個平方數和

1.
任何平方數皆呈4x或4x+1型態，故對任何呈4x+3型式的數，必無法表示成兩平方數和，將質數p分為4k+1和4k+3兩種，對正整數a，a=1~p-1，求a^2除以p的餘數，對4k+1型質數可產生2k種餘數，而4k+3型質數可產生2k+1種餘數
例如：
4k+1型17:1,4,9,16,8,2,15,13,|13,15,2,8,16,9,4,1，有8種餘數，可產生四組餘數相加等於17
4k+3型(k為偶數)11:1,4,9,5,3,|3,5,9,4,1，產生五種餘數，若將其乘2再除以11，可找到另5個可能餘數
4k+3型(k為奇數)23:1,4,9,16,2,13,3,18,12,8,6|...，產生11個餘數，任取兩個相加除以11,可找到另11個可能餘數．
2.
對4k+1型質數p，可找到2k組呈現a^2+b^2=mp
例如：3^2+5^2=2*17，6^2+7^2=5*17
對4k+3質數p，可找到a^2+b＾2+c^2=mp，視同a^2+b＾2+c^2+d^2=mp
1^2+4^2+4^2=3*11，2^2+4^2+7^2=3*23
3.
接下來，我們就4k+1型質數尋找a^2+b^2=p，即求m之最小值1，以p=29為例
(1)11^2+13^2是29的10倍，我們將11和13分別除以10,得到一組餘數為(1,3)
利用(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2
對a^2+b^2=mp而言，(ac+bd)，(ad-bc)必為m的倍數
將(11^2+13^2)(1^2+3^2)改寫成=(11*1+13*3)^2+(11*3-13*1)^2=50^2+20^2，等式兩邊各除以100，得到29=5^2+2^2

(2)再做一次練習，這次，當餘數大於被除數m的一半時，我們引進負餘的觀念
8^2+9^2=5*29，(8,9)除以5,得到餘數(3,4)，將(3,4)改成(-2,-1)，以(8,9),(-2,-1)來操作可得|(8*-2+9*-1)|/5=5，(8*-1-9*-2)/5=2，如此亦可得到5^2+2^2=29

(3)
可以用任一a^2+b^2=mp推出其餘各組符合a^2+b^2=mp的組合
例如：利用4^2+11^2=137求出1+x^2=137k的正整數解
利用負餘觀念，(4,11)==(4,126)==(2,63)==(2,74)==(1,37)
可以求得1^2+37^2=137*10
4.
就4k+3型質數尋找a^2+b^2+c^2+d^2=p，即求m之最小值1，以p=23為例，2^2+4^2+7^2=3*23
利用(a^2+b^2+c^2+d^2)(e^2+f^2+g^2+h^2)=(ae+bf+cg+dh)^2+(af-be+ch-dg)^2+(ag-bh-ce+df)^2+(ah+bg-cf-de)^2
(2^2+4^2+7^2+0^2)(-1^2+1^2+1^2+0^2)
=(-2+4+7+0)^2+(2+4+0-0)^2+(2-0+7+0)^2+(0+4-7-0)^2
69*3=9^2+6^2+9^2+3^2
同除9得23=3^2+2^2+3^2+1^2
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由上可知，4k+1型的質數p，可表示成兩個平方數和
同理，4k+3型的質數p，可表示成四個平方數和，故對任何質數而言，均可表示成四個平方數和

　　應該是我向你謝謝才對．我引用這一題讓我讀小六的兒子去解，得到的收穫十分寶貴，當我們得到初步的成果時，居然發覺，大學一年級基礎數論課程，當中所指出的內容重點，涵蓋我們所思考的各個問題，當然，研究你這一題，完全陌生的數論課程，相信孩子以後有機會學到，其實已是熟悉的東西．但如果不是因為你這一題，想想看，誰會去碰這些鬼東西呢？即使現在，要我去買這類書靜下心來看上二十分鐘都很困難．但是，話又說回來，一個大學生，如果之前沒有去接觸到這些東西，當他一開始學時，一定會花一段時間才能抓住重點並體會出其中的樂趣．而我也相信，有些人等到畢業後，可能也搞不清楚到底學到了什麼．
　　這一題其實沒有那麼複雜，只是為了讓孩子去學到有用的研究過程，同時引發興趣，才會給他嘗試各個方向的思考．他花用的時間極少，但實際上得到的都是有用的知識與經驗．以下的方法可以提供你做為參考．
　　以質數17舉例來說，你可以試試看以下的做法，這樣就容易多了：

1.1~8各數的平方除於17的餘數皆不相同
2.從{1,2,3,4,5,6,.......16}中取出8個數，再從8個數當中任取兩數相加(包括自己加自己)後除以17，則必可得出其餘的8個數．
　　其實你這道題只要能夠證明以上兩點對任何質數都成立即可．而證明的方法並不難，你也不必給我解答，只要放在心裏，有空多想想就可以了．

　　你是個聰明的小孩，懂得把握零碎的時間去思考，我的孩子也像你一樣喜歡想這些有的沒的，再一次謝謝你，讓我們的生活更加充實．