將 1～13分別填入下圖13個圓圈

引用：

myfund168 寫道:
將 1～13分別填入下圖13個圓圈，不得重複，使得下面圓圈內數字，等於上面相連圓圈內數字的和。

請問除了花很多時間，把它拼出來外，是否有其他邏輯，或想法？

我現在想到的是
最下面的那四個圈可能為
13,12,11,7 13,12,10,8 13,11,10,9
三個都試一試
再設代數
就差不多了

假設最下面的那四個圈由左到右是a、b、c、d
最上面那一排由右開始數第2個為e
第二排最左邊的為f
則可知第一排最左邊的為f-c+3
又此圈圈也為d-f
所以f-c+3=d-f
2f=d+c-3
又d=43-a-b-c
所以2f=40-a-b
也就是說a+b為偶數
(1)若a=13
則因為a+b為偶數
故a，b，c，d=13，12，11，7or13，11，10，9
可見b=7，9或11
又13的右上方數字為9
所以b=7or11
可見當b=7時，c和d為11和12
又c不能為12(很容易看出來)，所以c=11，d=12
f=10，e=6
之後慢慢把他填上去就會得到一組解
而當b=11時，f=8
又c，d>f=8
所以c，d為10和9
又13的右上方以為9，故不可能



我在看看有沒有另解

引用：

hansonyu123 寫道:
假設最下面的那四個圈由左到右是a、b、c、d
最上面那一排由右開始數第2個為e
第二排最左邊的為f
則可知第一排最左邊的為f-c+3
又此圈圈也為d-f
所以f-c+3=d-f
2f=d+c-3
又d=43-a-b-c
所以2f=40-a-b
也就是說a+b為偶數
(1)若a=13
則因為a+b為偶數
故a，b，c，d=13，12，11，7or13，11，10，9
可見b=7，9或11
又13的右上方數字為9
所以b=7or11
可見當b=7時，c和d為11和12
又c不能為12(很容易看出來)，所以c=11，d=12
f=10，e=6
之後慢慢把他填上去就會得到一組解
而當b=11時，f=8
又c，d>f=8
所以c，d為10和9
又13的右上方以為9，故不可能



我在看看有沒有另解

上面那組解是錯的= =

繼續
(2)若b=13
同樣可以得到a=7，9或13
當a=7，則a右上的圈為3
故e為1或2
b-e=11或12
又c，d為11，12
所以a不等於7
當a=9時，f=9，不合
當a=11時，可見c=9，d=10，f=8
繼續往下推就可知b不等於13
(3)若c=13
又因為c+d為奇數
所以d=12，10或8
當d=12時，f=11，f上面的數分別是10和1
但是a和b又為11，7或10，8
重複了
故d不等於12
當d=10時，f=10，不合
當d=8時，f=9
但d<f，不合
(4)若d=13
同樣得到c=12，10或8
當c=12時，f=11，a=10，b=8，e=1時得到一組解
而a=8時4會重複
當c=10時，f=10，不合
當c=8時，f=9，f右上的圈內為4，重複了




總合以上結論，共一組解

我第一個想到的是左上角為5

空白的圓圈中
設下面那排由左而右為a,b,c,d
中間那排由左而右為e,f,g
上面那排由左而右為h,i,j,k
可知a+b+c+d=43
(4+e)+(i+f)+(3+j)+(g+k)=43
兩式相加整理得h=(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k)-79
即h=(1+2+5+6+7+...+13)-79=84-79=5

引用：

myfund168 寫道:
你的意思應該是如下吧？
最下面的那四個圈可能為
(13,12,11,7) (13,12,10,8) (13,11,10,9)
三個都試一試

這三組數如何來，好像沒交代耶！
而且好像還是很複雜，還是我沒了解你的意思？

這三組數有個找法，如下:
以下先證明這四個數中一定會有13↓
若沒有13，則剩下的數中最大的4個為9~12，這四個數的合為42，但要求為43，不合。
故這四個數中一定會有13，證畢。
43-13=30，剩下三個數其實可以用湊的了= =
若剩下的三個數中沒有12，則最大的為9~11，總和剛剛好是30，即為一組解(9,10,11,13)。
若剩下的三個數其中一個為12，則剩下兩個數的合為30-12=18，18分成兩個不同且小於12的正整數只有兩種：7和11或8和10，即為另外兩組解(7,11,12,13)(8,10,12,13)

我以下先設
底下從左到右為a,b,c,d
中間從左到右為e,f,g
上面從左到右為h,i,j,k
明顯可知a+b+c+d=43
(e+4)+(i+f)+(3+j)+(g+k)=43
e+f+g+i+j+k=36
(h+i)+f+(j+k)+i+j+k=36
(h+f)+2(i+j+k)=36
因為2(i+j+k)為偶數且36為偶數
所以h+f為偶數(即h和f同奇偶性)
由此也可推倒b和e和a同奇偶性
如果再加上前面有人說h=5的話，就可得f為奇數了。

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
我第一個想到的是左上角為5

空白的圓圈中
設下面那排由左而右為a,b,c,d
中間那排由左而右為e,f,g
上面那排由左而右為h,i,j,k
可知a+b+c+d=43
(4+e)+(i+f)+(3+j)+(g+k)=43
兩式相加整理得h=(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k)-79
即h=(1+2+5+6+7+...+13)-79=84-79=5

好恐怖喔…

引用：

justpoppingin 寫道:
我以下先設
底下從左到右為a,b,c,d
中間從左到右為e,f,g
上面從左到右為h,i,j,k
明顯可知a+b+c+d=43
(e+4)+(i+f)+(3+j)+(g+k)=43
e+f+g+i+j+k=36
(h+i)+f+(j+k)+i+j+k=36
(h+f)+2(i+j+k)=36
因為2(i+j+k)為偶數且36為偶數
所以h+f為偶數(即h和f同奇偶性)
由此也可推倒b和e和a同奇偶性
如果再加上前面有人說h=5的話，就可得f為奇數了。

你們推得比我完整…
我只想到我上面寫的那些條件

引用：

myfund168 寫道:
謝謝你們！
合起來，蠻不錯的。
但知道這是小學競賽的題目，就更恐怖了！


可以的話，把另外一題，也解解吧！
剪出的正方形數最少是幾個？

其實這些都不一定要用代數寫，只是這樣比較好解釋而已= =