关于三等分角问题的讨论的想法是：应该继续讨论。在讨论三等分角问题过程中寻找当今需要的数学基础内容，这肯定是更多的人会去做的工作。谢谢孙文先老师的宽容，留下了上面讨论的内容。在学术讨论中能够遇到一个知音有时候是很不容易的。
有《近世代数初步》一书，作者是徐竞和徐明曜，北京大学出版社出版，书的封面也标明了“21世纪数学规划教材·数学基础课系列”这样的文字。在 P238 中有这样的内容：【数学史上著名的三大几何作图不能问题】【我们在本节要达到的目的是分析能用尺规作图解决的问题有哪些特征，从而严格证明上述三个问题是不能用尺规作图来解决的。】（近世代数初步 徐竞 徐明曜 P238 北京大学出版社 21世纪数学规划教材·数学基础课系列）现在观察课文中相关的“严格证明”。@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@三大几何作图不能问题的分析（1）倍立方体问题：【..................所求立方体边长为³√2。】（2）三等分角问题：【我们以60°角为例..................。】【..................cos(3θ) = 4( cosθ )^3-3( cosθ)，以θ= 20°代入，得到（1/2）= 4( cos20° )^3-3( cos20°)，】【即 cos20°满足方程4( x)^3-3(x)=（1/2）。】【知20°不能用尺规作图得到。】（3）化圆为方问题：【用尺规作图方法作出边长为√π的正方形。】（近世代数初步 徐竞 徐明曜 P241--- P242 北京大学出版社 21世纪数学规划教材·数学基础课系列）#############################################################显然，“严格证明”中出现了（1）³√2、（2）cos20° 和（3）√π三个数。数³√2表明了有理数在开立方，数√π表明了超越数在开平方。只是数cos20°没有表明什么数在开什么次方。还有，“三等分角问题”中有（1/2）这个数，数（1/2）与cos60° 相对应，也就是cos60°=（1/2）。同样，数cos20°也没有可以像cos60°=（1/2）那样等式的表明。或者说，数cos20°可以等于什么以及应该等于什么。所以，数cos20°是一个神秘的数。在《近世代数初步》的课文中，作者徐竞和徐明曜以神秘的数cos20°为依据，“严格证明”了【知20°不能用尺规作图得到。】。继续关心“三等分角问题”的讨论，这里有中国需要的数学基础内容。
2025年上海书展的书架上有一本书， 书名是《伽罗瓦——智性与激情(数学家传记丛书)》 上海科技出版社出版。书中有“推荐序”一文，作者是李尚志。在李尚志的“推荐序”文中有：【类似于现在还有很多“民科”还痴迷于三等分角】这么一说。那么，不是“民科”的李尚志在同一篇“推荐序”的文中是怎么论述三等分角的？1）【伽罗瓦的理论不但彻底解决了求根公式问题。还彻底解决了古希腊留下的尺规作图难题，包括三等分任意角、立方倍积、化圆为方、正多边形。立方倍积就是作正方体体积等于已知正方体体积的2倍，也就是作方程x^3=2的根³√2。化圆为方是作正方形面积等于已知圆面积，也就是作方程x^2=π的根√π。】2）【伽罗瓦理论证明了三等分任意角、立方倍积、化圆为方都不能尺规作图。】3）【三等分任意角是解三次方程，根的维数是3，不整除（2^n）,因此不能作。立方倍积作方程x^3-2=0的根，左边在有理数范围内不能分解，维数也是3，也不能作。化圆为方是作方程x^2-π=0的根，π不是有理系数代数方程的根，不是代数数而是超越数，更加不可作。】@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@不是“民科”的李尚志在同一篇“推荐序”的文中也有其他的表述。【到16世纪初，意大利数学家费罗（Ferro）发现了三次方程的求根公式】【不久，塔尔塔利亚（Tartaglia）也发现了三次方程求根公式】【卡丹（Cadano）于1545年（如今称卡丹公式）】比照李尚志“三等分任意角是解三次方程，根的维数是3，不整除（2^n）,因此不能作。”的这句话。李尚志完全应该列出与三等分任意角相关的三次方程，并且求出该方程的根。让这个被求出的该方程的根像x^3=³√2和 x^2=√π一样，表明它是什么样的数以及它在开什么次方。在这个基础上，再去确定三等分任意角是否可能由尺规作图作出。但是李尚志没有给出这些内容。李尚志简单的给出了“三等分任意角是解三次方程，根的维数是3，不整除（2^n）,因此不能作。”这句话。这是为什么？求出与三等分任意角相关的根有那么神秘吗？李尚志用神秘的根为依据，论述他人是“民科”，痴迷于三等分角。这不是很搞笑的吗？继续关心三等分任意角的讨论，这里有数学界需要的数学基础内容。
有《李永乐神奇的数学》一书湖南科学技术出版社出版 作者是李永乐 有一节内容“如何三等分任意角”：@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@二、古希腊三大几何难题 （P295-- P297 ）（1）【立方倍积问题 】{............... ³√2不是规矩数，所以不可以尺规作图。}（2）【化圆为方问题 】{ ..............和圆形面积相等的正方形边长应该是√π。}（3）【三等分任意角】{ cos α = 4( cos“1/3”α )^3-3( cos“1/3”α) }{方程可以转化为4x^3-3x-cos α =0 } {例如：α = 60°时，cos α = 1/2 方程变为 8x^3-6x-1=0 。}{这已经是一个不可约方程了，而且最高次是3次，不是2的整数次幂，因此它的根也不是规矩数。60°是不可以尺规三等分的。} ##################################因为文中有“α = 60°时，cos α = 1/2 ”这个内容。所以有“cos 60°= 1/2 ”这样的等式。或者说，数cos 60°和数1/2 是有等于关联的两个数。数1/2可以用作判断是否可能尺规作图的内容。当文中的公式cos α = 4( cos“1/3”α )^3-3( cos“1/3”α) 中用α = 60°去表明时。就有等式cos60°= 4( cos20° )^3-3( cos20°) 确立。如果将等式cos60°= 4( cos20° )^3-3( cos20°) 视为三次方程，其中数cos60°为系数时，则数cos20°为方程的根。作为方程的根数cos20°应该像“cos 60°= 1/2 ”一样有相对应的数。或者说作为方程的根数cos20°可以等于什么数。在《李永乐神奇的数学》的书中找不到“作为方程的根数cos20°可以等于什么数”这样的内容。所以“根数cos20°”是一个神秘的数。作者李永乐用神秘的数cos20°为依据，作出了“60°是不可以尺规三等分的 ”的结论。《李永乐神奇的数学》书中也有下面内容：【“国民老师”】【全网超3000万粉丝】【视频播放量超10亿次】【数学之美在于它的逻辑性，.........推荐李永乐这本《神奇的数学》，希望 ..........训练数学思维........。-------张益唐 】
有《初等几何研究基础教程》一书，由左铨如、季素月合著，2015年2月由哈尔滨工业大学出版社出版。（P208 ------ P209）三等分任意角的问题【a=cos θ ， x=cos（“1/3”θ ）】【由三角公式知 cos θ = 4( cos“1/3”θ )^3-3( cos“1/3”θ ) 】【即 4x^3-3x-a=0 ①】【当θ = 60°时，a=cos θ = 1/2 ，代入方程 ①】【得 8x^3-6x-1=0 ②】 【方程②（8x^3-6x-1=0 ）没有有理根，这说明仅用尺规不能三等分60°的已知角，即三等分任意角也是尺规作图不能问题。】{作者左铨如、季素月认为只要证明：方程②（8x^3-6x-1=0 ）没有有理根，就可以说明仅用尺规不能三等分60°的已知角！这里好像没有cos（“1/3”θ ）什么事情。有cos 60°= 1/2 ，cos20°应该等于什么，作者左铨如、季素月没有说出来。所以，cos20°是一个神秘的数。}{作者左铨如、季素月以神秘的数cos20°为依据，判断了：“三等分任意角也是尺规作图不能问题”！}
有《什么是数学:对思想和方法的基本研究》一书，左平、张饴慈 译 复旦大学出版社出版 2025年 第4版 第15次印刷（P157 ------ P158）【最简单地是考虑由余弦cos θ = 𝗴 给出的角θ 。这时问题等价求量x=cos（“1/3”θ ）的问题。】【cos θ =𝗴= 4( cos“1/3”θ )^3-3( cos“1/3”θ )】【可归结为三次方程 4𝔃^3-3𝔃-𝗴=0 （6）】【取θ =60°， 即𝗴=cos 60°=1/2 】【方程（6）这时变成 8𝔃^3-6𝔃=1 。（7）】【我们只需要说明这个方程没有有理根。】【从而（7），没有有理根，这证明了三等分角是不可能的。】{左平、张饴慈译作中的内容有数( cos“1/3”θ )的出现，当取θ =60°时，数( cos“1/3”θ )也就是数cos20°。在三等分角问题的讨论中，cos 60°=1/2以及方程8𝔃^3-6𝔃=1 是出现的“主角”，好像没有数cos20°什么事情。所以数cos20°是一个神秘的数。}{《什么是数学:对思想和方法的基本研究》的原作者能够告诉人们：数cos20°是什么样的数吗？}
有《从代数基本定理到超越数 》一书 华东师范大学出版社出版 作者 冯承天 （P104----P105）§12.9 三大古典几何问题的解决 （一）三等分任意角【下面我们证明三等分60°不能用尺规作出。为此只要证明cos20°是不可作的。】【设x=cos20°】【三倍角公式，有 cos 60° = 4( cos20° )^3-3( cos20° )= 4x^3-3x =1/2 （12.9 ） 】【于是需要求 f(x)=8x^3-6x-1=0 的根。】【知f(x)在Q上是不可约的。】【从而cos20°在Q上的次数为3】【因此就得出cos20°是不可尺规作图的。所以三等分任意角不可作。】（二）倍立方 【x^3=2】【于是需要求多项式f(x)=x^3-2的根。】【因此它是其根x=³√2 】（三）化圆为方【x^2=π】【于是要用尺规作出数x=√π】**************************************************（作者冯承天可以让 cos 60° =1/2 ）（作者冯承天可以让 根x=³√2 ）（作者冯承天可以让 数x=√π）（作者冯承天可以让 数cos20°等于什么呢？ 不知道，所以数cos20°是一个神秘的数！）（作者冯承天以神秘的数cos20°为依据，作出了“因此就得出cos20°是不可尺规作图的。所以三等分任意角不可作。”的结论。）
书店里有两本书。第一本书是：《数学之外与数学之内》 由田刚 吴宗敏 主编 复旦大学出版社出版 吴宗敏主编在序文中有下面的内容。【经常有人找我，说解决诸如三等分角的问题。】【当然最终目标是帮助他们出名。】 【这个问题是数学上已经解决的问题】【当然其背后是一整套的伽罗瓦理论。】吴宗敏主编还说。【现在是一个创新的的年代，】【我们应该从数学的产生开始质疑。】第二本书是：《姚慕生抽象代数 第二版》也是复旦大学出版社出版 由姚慕生编著 （P134----P135）例1 三等分一个任意角 ：【我们只需要证明60°角不可以用尺规三等分就可以了。】【由三倍角公式： cos(3θ) = 4( cosθ )^3-3( cosθ)】【cos（π/3） = 4（cos π/9）^3-3（cos π/9）】【即cos（π/9）适合方程式 1/2 =4x^3-3x 】【或 8x^3-6x-1=0】【不难验证它（指方程）�茼陴z根】【它的次数等于3 {与cos（π/9）相关}】【这就证明了用尺规三等分60°的角的不可能性。】################################################# 比较【cos（π/3） = 4（cos π/9）^3-3（cos π/9）】与【即cos（π/9）适合方程式 1/2 =4x^3-3x 】两个内容。编著者姚慕生在书中告诉读者，把cos（π/3）认定为方程的系数，这时cos（π/9）就是同一方程的根。cos（π/9）的重要性在于决定cos（π/3）所对应的60° 角能不能用尺规三等分。当把cos（π/3）等于 1/2 时，是不是也应该把cos（π/9）等于 什么数告诉读者？很遗憾，编著者姚慕生没有告诉读者。所以cos（π/9）是一个被隐蔽缺失的神秘之数。这是一个不完整的证明。被隐蔽缺失的神秘之数cos（π/9）在告诉人们：60° 角不能用尺规三等分的结论是可疑的！田刚担任过中国数学学会理事长，吴宗敏担任过中国数学学会副理事长。希望田刚和吴宗敏两位主编 关心和支持继续讨论尺规作图三等分角问题。
有《基础代数(第三卷)》一书， 科学出版社 作者是席南华 。（P236----P237）章节的标题是：牛刀小试：尺规作图之解三 倍立方问题 【 x^3-2 】【³√2】四 三等分一个角 【8x^3-6x-1 】【cos20°】@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@这里，在“倍立方问题 ”讨论中， 席南华作者用与多项式“x^3-2 ”相对应的方程“x^3-2=0 ”进行讨论。方程x^3-2=0 其中有一个根是“³√2”。因为方程的根³√2不满足可以尺规作图的要求。所以倍立方问题 “的答案是否定的” 。这里，方程的根³√2展示了“相应的数的结构”，与尺规作图的要求相呼应。 *********************************************************************************************接着在“三等分一个角 ”的讨论中，席南华作者用与多项式“8x^3-6x-1”相对应的方程“8x^3-6x-1=0 ”进行讨论。因为方程8x^3-6x-1=0 ①没有有理数根。②方程8x^3-6x-1=0 的次数是3，不与”次数为2的幂“相对应。凭①和②说明了方程8x^3-6x-1=0 的根不满足可以尺规作图的要求。因此，方程的根x（也就是cos20°）不可以用尺规作图作出来。结论是：“这意味着尺规三等分60°角是不可能的。”在整个讨论中，席南华作者没有展示与cos20°相关的“数的结构”。这是为什么？难道展示与cos20°相关的“数的结构”不重要吗？也就是说，cos20°是一个神秘的数。席南华作者用一个神秘的数cos20°为依据，作出了“这意味着尺规三等分60°角是不可能的。”的结论。席南华是现在当任的中国数学学会理事长。希望席南华理事长重新关注“三等分一个角 ”的讨论。
在李尚志的“李尚志：关于百家争鸣的对话”这一网络文章中，关于”三等分任意角“的讨论，李尚志是这样教训刘培杰数学工作室的编辑的：【哈工大有个游宏教授是懂行的】【你还是可以请教他】【如果觉得他们的权威性不够，就去请教中科院或北京大学的专家】##################################################现在看一看哈工大的游宏教授在关于”三等分任意角“的讨论中有什么说法。有一本书的书名是《代数学》 科学出版社出版发行 作者是游宏 和刘文德 （P276） 这里讲述Galois理论章节中的尺规作图部分。例 7.6.3（三等分角）【cos α = cos(3θ) = 4( cosθ )^3-3( cosθ)】【令cos α =a/2 ，cos θ=x/2 】【即 x^3-3x-a=0】【取 α =π/3. 那么a=1.】【但 x^3-3x-1】【（即x）不能用尺规作出】***************************************************************************************************************【取 α =π/3. 那么a=1.】---------也就是说，cos （π/3）=cos60° =1/2 。观察cos60° =1/2 这个等式。可以看到， 数cos60° 依照1/2 这一数学结构的身份参与了方程x^3-3x-1=0的讨论。那么，方程x^3-3x-1=0中的根x是不是也应该被展示相应的数学结构，以供读者识别根x是否可能用尺规作出？ 很遗憾，游宏作者和刘文德作者没有告诉读者。所以根x是一个神秘的数。游宏作者和刘文德作者用一个神秘的数（根x）的身份判断：“【（即x）不能用尺规作出】”。 这些内容希望李尚志能够满意。
