关于三等分角问题的讨论的想法是：应该继续讨论。在讨论三等分角问题过程中寻找当今需要的数学基础内容，这肯定是更多的人会去做的工作。谢谢孙文先老师的宽容，留下了上面讨论的内容。在学术讨论中能够遇到一个知音有时候是很不容易的。
有《近世代数初步》一书，作者是徐竞和徐明曜，北京大学出版社出版，书的封面也标明了“21世纪数学规划教材·数学基础课系列”这样的文字。在 P238 中有这样的内容：【数学史上著名的三大几何作图不能问题】【我们在本节要达到的目的是分析能用尺规作图解决的问题有哪些特征，从而严格证明上述三个问题是不能用尺规作图来解决的。】（近世代数初步 徐竞 徐明曜 P238 北京大学出版社 21世纪数学规划教材·数学基础课系列）现在观察课文中相关的“严格证明”。@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@三大几何作图不能问题的分析（1）倍立方体问题：【..................所求立方体边长为³√2。】（2）三等分角问题：【我们以60°角为例..................。】【..................cos(3θ) = 4( cosθ )^3-3( cosθ)，以θ= 20°代入，得到（1/2）= 4( cos20° )^3-3( cos20°)，】【即 cos20°满足方程4( x)^3-3(x)=（1/2）。】【知20°不能用尺规作图得到。】（3）化圆为方问题：【用尺规作图方法作出边长为√π的正方形。】（近世代数初步 徐竞 徐明曜 P241--- P242 北京大学出版社 21世纪数学规划教材·数学基础课系列）#############################################################显然，“严格证明”中出现了（1）³√2、（2）cos20° 和（3）√π三个数。数³√2表明了有理数在开立方，数√π表明了超越数在开平方。只是数cos20°没有表明什么数在开什么次方。还有，“三等分角问题”中有（1/2）这个数，数（1/2）与cos60° 相对应，也就是cos60°=（1/2）。同样，数cos20°也没有可以像cos60°=（1/2）那样等式的表明。或者说，数cos20°可以等于什么以及应该等于什么。所以，数cos20°是一个神秘的数。在《近世代数初步》的课文中，作者徐竞和徐明曜以神秘的数cos20°为依据，“严格证明”了【知20°不能用尺规作图得到。】。继续关心“三等分角问题”的讨论，这里有中国需要的数学基础内容。
2025年上海书展的书架上有一本书， 书名是《伽罗瓦——智性与激情(数学家传记丛书)》 上海科技出版社出版。书中有“推荐序”一文，作者是李尚志。在李尚志的“推荐序”文中有：【类似于现在还有很多“民科”还痴迷于三等分角】这么一说。那么，不是“民科”的李尚志在同一篇“推荐序”的文中是怎么论述三等分角的？1）【伽罗瓦的理论不但彻底解决了求根公式问题。还彻底解决了古希腊留下的尺规作图难题，包括三等分任意角、立方倍积、化圆为方、正多边形。立方倍积就是作正方体体积等于已知正方体体积的2倍，也就是作方程x^3=2的根³√2。化圆为方是作正方形面积等于已知圆面积，也就是作方程x^2=π的根√π。】2）【伽罗瓦理论证明了三等分任意角、立方倍积、化圆为方都不能尺规作图。】3）【三等分任意角是解三次方程，根的维数是3，不整除（2^n）,因此不能作。立方倍积作方程x^3-2=0的根，左边在有理数范围内不能分解，维数也是3，也不能作。化圆为方是作方程x^2-π=0的根，π不是有理系数代数方程的根，不是代数数而是超越数，更加不可作。】@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@不是“民科”的李尚志在同一篇“推荐序”的文中也有其他的表述。【到16世纪初，意大利数学家费罗（Ferro）发现了三次方程的求根公式】【不久，塔尔塔利亚（Tartaglia）也发现了三次方程求根公式】【卡丹（Cadano）于1545年（如今称卡丹公式）】比照李尚志“三等分任意角是解三次方程，根的维数是3，不整除（2^n）,因此不能作。”的这句话。李尚志完全应该列出与三等分任意角相关的三次方程，并且求出该方程的根。让这个被求出的该方程的根像x^3=³√2和 x^2=√π一样，表明它是什么样的数以及它在开什么次方。在这个基础上，再去确定三等分任意角是否可能由尺规作图作出。但是李尚志没有给出这些内容。李尚志简单的给出了“三等分任意角是解三次方程，根的维数是3，不整除（2^n）,因此不能作。”这句话。这是为什么？求出与三等分任意角相关的根有那么神秘吗？李尚志用神秘的根为依据，论述他人是“民科”，痴迷于三等分角。这不是很搞笑的吗？继续关心三等分任意角的讨论，这里有数学界需要的数学基础内容。
有《李永乐神奇的数学》一书湖南科学技术出版社出版 作者是李永乐 有一节内容“如何三等分任意角”：@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@二、古希腊三大几何难题 （P295-- P297 ）（1）【立方倍积问题 】{............... ³√2不是规矩数，所以不可以尺规作图。}（2）【化圆为方问题 】{ ..............和圆形面积相等的正方形边长应该是√π。}（3）【三等分任意角】{ cos α = 4( cos“1/3”α )^3-3( cos“1/3”α) }{方程可以转化为4x^3-3x-cos α =0 } {例如：α = 60°时，cos α = 1/2 方程变为 8x^3-6x-1=0 。}{这已经是一个不可约方程了，而且最高次是3次，不是2的整数次幂，因此它的根也不是规矩数。60°是不可以尺规三等分的。} ##################################因为文中有“α = 60°时，cos α = 1/2 ”这个内容。所以有“cos 60°= 1/2 ”这样的等式。或者说，数cos 60°和数1/2 是有等于关联的两个数。数1/2可以用作判断是否可能尺规作图的内容。当文中的公式cos α = 4( cos“1/3”α )^3-3( cos“1/3”α) 中用α = 60°去表明时。就有等式cos60°= 4( cos20° )^3-3( cos20°) 确立。如果将等式cos60°= 4( cos20° )^3-3( cos20°) 视为三次方程，其中数cos60°为系数时，则数cos20°为方程的根。作为方程的根数cos20°应该像“cos 60°= 1/2 ”一样有相对应的数。或者说作为方程的根数cos20°可以等于什么数。在《李永乐神奇的数学》的书中找不到“作为方程的根数cos20°可以等于什么数”这样的内容。所以“根数cos20°”是一个神秘的数。作者李永乐用神秘的数cos20°为依据，作出了“60°是不可以尺规三等分的 ”的结论。《李永乐神奇的数学》书中也有下面内容：【“国民老师”】【全网超3000万粉丝】【视频播放量超10亿次】【数学之美在于它的逻辑性，.........推荐李永乐这本《神奇的数学》，希望 ..........训练数学思维........。-------张益唐 】
