【哈代是中国科学院院士华罗庚的老师，也是英国数学家罗素的至交。让他印象深刻的是，哈代曾在书中引用过罗素的名言：“数学是这样一门学科，我们永远不知道它说的是什么，也不知道它说的是否正确。”】（“中国近代数学史会记得他‘齐民友’”中国科学报 计红梅 主编 温才妃 记者 ） 古希腊的几何及其影响 【解决尺规作图难题的，是旺泽尔。】【 他研究过五次方程的根式解，并第一次给出三大难题中“三等分角”、“倍立方”问题的不可能性证明，但他的工作被忽略了近一个世纪。】【旺泽尔用代数的方法来解决几何问题，于1837 年证明了不存在仅用尺规作图法将任意角度三等分的通法。具体来说，旺泽尔研究了给定单位长度后，能够用尺规作图法所能达到的长度值。】【所有能够经由尺规作图达到的长度值被称为规矩数，或称可造数（constructible number）。意思便是指用圆规（规）直尺（矩）可以（造）出来的数。】【可以证明，尺规作图可作的几种操作，对应于代数中的加减乘除加开方运算，即包括平方根、四次方根、八次方根...等2^n次方根。因此，规矩数的集合比有理数大，比实数小。可以将有理数域扩大而得到。】【规矩数的集合仍然是一个域，因此可用尺规作图后产生的新数是否是规矩数来判定其可能性。而旺泽尔证明了，如果能够三等分任意角度，那么就能做出不属于规矩数的长度，从而反证出通过尺规三等分任意角是不可能的。】（上述内容是抄录别人的文章，是目前“公认”的，用于作下面内容的比对。） 有庞加莱的名言:如果我们想要预见数学的将来,适当的途径是研究这门科学的历史和现状。 关于三等分角的讨论 在上海有一位退休数学老师王方汉（大罕），带着他的作品《大罕数学诗文》到上海建平中学作讲解。（讲解后的相关内容在网络上发表）就有下面的内容：【数学诗的欣赏与创作 大罕（王方汉 ）】 【李尚志教授在《湖南省普通高中课程标准实验教科书选修3－6》的章头写了一首七律诗《三等分角与数域扩张》（p75）：一角三分本等闲，尺规限制设难关。几何顽石横千载，代数神威越九天。步步登攀皆是二，层层寻觅杳�茪T。黄泉碧落求真谛，加减乘除谈笑间。随后有三个注解加以说明。2011年左右,有一个网名叫bua1s2d3的网友（他是上海某大学的一位老先生），揪住李教授的这首诗不放，写了题为“李尚志对中学生们不负责地写下了的一首数学诗”的文章，散发到许许多多论坛里，以及寄到一些数学家本人，说“李尚志通过这首诗以及通过他所编写的教材，每年向成千上万名中学生们讲述了一个有数学内容的“皇帝的新衣”的故事”，来误导学生。所谓误导，是指李教授在数学诗里把三等分角讲错了！风波在后面。很不幸的是，2015年，刘培杰主编的《数学奥林匹克与数学文化》第五辑中，“读者反馈”一栏收入了buals2d3的这篇文章。激起了李尚志极大的反弹，认为刘培杰是站在反科学的立场上，才支持这一类似于“鼓吹永动机”的文章，并且认为发表这篇文章是“为百家争鸣提供一个平台”。而且，凡刘培杰参加了的微信群李教授都要退出。2018年元月出版的《大罕数学诗文》一书的“编辑手记”里，刘培杰写道：“由于考虑不慎，把一篇不应录入的文章录入进来”(p329) 这事才终于翻篇。】湘教（湖南教育出版社）版中学数学教材执行主编李尚志是怎么样“极大的反弹 ”的？李尚志通过彭翕成在网上发表文章： (别把我吹捧成伽罗瓦 李尚志 彭翕成讲数学 2017-05-07)当哈尔滨工业大学出版社数学编辑部张永芹主任知道后发文向李尚志表示道歉。李尚志通过彭翕成再次在网上发表文章：(李尚志：关于百家争鸣的对话 彭翕成讲数学 2017-05-23) 在此文章中全文刊登了哈尔滨工业大学出版社数学编辑部张永芹主任知道后发文向李尚志表示道歉的信件。有意思的事情是：王方汉（大罕）他的作品《大罕数学诗文》是由哈尔滨工业大学出版社出版的。湘教（湖南教育出版社）版中学数学教材执行主编李尚志居然在《大罕数学诗文》此书中作序。难道李尚志不“极大的反弹 ”了？李尚志序言中有“杨修猜破谜底……被曹操杀了。杨修不明白……自己找死”这么一说。2018年元月出版的《大罕数学诗文》一书的“编辑手记”里，刘培杰写道：“由于考虑不慎，把一篇不应录入的文章录入进来”(p329) 湘教（湖南教育出版社）版中学数学教材执行主编李尚志与哈尔滨工业大学出版社数学编辑部刘培杰相互PK。湘教（湖南教育出版社）版中学数学教材执行主编李尚志KO哈尔滨工业大学出版社数学编辑部刘培杰。哈尔滨工业大学出版社数学编辑部刘培杰还要终身背负有过“刘培杰是站在反科学的立场上”这一说法。这些内容大概可以编进数学史了。在出版界应该是一个有趣的话题了。刘培杰为什么得知有“李尚志对中学生们不负责地写下了的一首数学诗”这一文章？是因为刘培杰有过一个疑惑：为什么有些人也在研究三等分角？这似乎是不应该出现的事情。是bua1s2d3把“李尚志对中学生们不负责地写下了的一首数学诗”这一文章交给了刘培杰数学工作室。bua1s2d3告诉刘培杰数学工作室：什么人也在研究三等分角是有理由的。只是没有想到，刘培杰数学工作室把“李尚志对中学生们不负责地写下了的一首数学诗”这一文章刊登在书中。当(别把我吹捧成伽罗瓦 李尚志 彭翕成讲数学 2017-05-07)和(李尚志：关于百家争鸣的对话 彭翕成讲数学 2017-05-23) 两篇文章在网络上公开发表后。bua1s2d3找过彭翕成。 彭翕成之后发表了-----【彭翕成的公开道歉 2017-07-31 09：44】一文。哈尔滨工业大学出版社数学编辑部刘培杰要不要背负“刘培杰是站在反科学的立场上”这一说法？湘教（湖南教育出版社）版中学数学教材执行主编李尚志说过：“假如在学习奥数的同时也学到了对伽罗瓦的质疑，甚至变成民科去搞三等分角，虽然还不是黄赌，但也是中了毒了。”。湘教（湖南教育出版社）版中学数学教材执行主编李尚志把学术讨论提到“中不中毒”的严重程度。@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@在平面几何中，如果提一个问题：“两根线段相乘的结果是什么？”可以有下面的回答：（1）两根线段相乘的结果是“不知道”，因为在平面几何中没有“两根线段相乘”的这种讨论。（2）两根线段相乘的结果是“面积”啊！例：线段（长）与线段（宽）相乘不就是“面积”吗？（3）两根线段相乘的结果是“另一根相应长度的线段”，并且这“另一根相应长度的线段”是可以用“尺规作图法”作出来的。有人给出了第（3）个回答，就是华罗庚。 三等分任意角 2020年9月16日。李尚志在石家庄二中西校区说：“数学的最高境界是简洁的逻辑美。”。“三等分角”是一个古老的数学难题。 华罗庚对“三等分角”的讨论作过一个“说明”，华罗庚通过“说明”告诉人们：“用圆规直尺三等分任意角是不可能的。”。 华罗庚用--------“用圆规直尺三等分任意角就如步行上月球一样不可能”--------来强化华罗庚他的这个“说明”。 也因为华罗庚作下了这样的结论，被人们误以为：“即使华罗庚给出的与‘三等分角’相关的讨论仅仅是一个‘说明’，可以说，这个‘说明’还是强有力的，不可辩驳的。”。所以，对关于“三等分角”相关内容的辩难在中国数学界内是不被允许的。 在“说明”中，华罗庚告诉人们：“两根线段相乘的结果是可以用圆规直尺作出来的。”。 怎么样能够作出图来？华罗庚先随意给出一根线段，并且设定这根线段为单位1。然后将两根已经给出的线段与作为设定是单位1的线段组合成相应的比例关系。通过这种比例关系作出新的线段。 这根新作出的线段就可以是两根线段相乘的结果。 （ 1：a=b：ab 其中1就是随意给出用作单位的线段，a和b就是已经给定的两根线段，ab线段就是给出的结果。 这里，要作出一根作为结果的线段需要多个作图步骤，几何作图的作图步骤越多，误差就会越大。） ###########################################################################其实不用作图就可以给出两根线段相乘的结果：“令两根线段其中的一根线段是单位1，则另一根线段就是两根线段相乘的结果。（任何数乘上单位1的结果可以是这个数）。”。精准零误差和简单。 ###########################################################################人们追求数学运算的结果精准和推导过程简洁。所以，华罗庚所给出的作图办法不怎么样。可以看到，在“说明”中，华罗庚所给出的作图办法中有一个情况：【如果给出了不一样长度的线段作为单位1，华罗庚“说明”中所给出的线段ab的长度也会相应地起变化，这里看不到数学的确定性在“说明”中的体现。（已经给出的两根线段的长度在欧几里德几何内是唯一确定的，那么如果有两根线段需要相乘，它们相乘的结果理应是唯一确定的。）】。也作为比较：（《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，成书于公元前300年左右。） 张卜天译《几何原本》卷一定义： 【1 点是没有部分的东西】【3 线之端是点】【4 直线是其上均匀放置着点的线】 问题：仅有的两个“其上均匀放置着”点的结果是线段、曲线、直线还是什么？ 线是由点组成的，但是点从来没有明确过作为线的单位（单元？）。一根线段的单位（单元？）是合理给出的，或者是随意指定和特别指定的？张卜天译《几何原本》卷七定义：【1每一个存在的事物凭借单元而称之为一。】【2一个数是由若干单元组成的“多少”。】 张卜天译《几何原本》卷7第16命题中讨论了两个数相互相乘的内容。 问题是：在讨论中出现了A、B、C、D、E 五根线段。作为单位（单元？）的E线段是怎么来的？***************************************************************************** 在平面几何中，什么样的几何图形能够作为“线段”这个几何图形的单位（单 元？）？如果：在古希腊数学家欧几里得创作的的《几何原本》中�茠k回答“作为单位（单元？）的E线段是怎么来的？”的话。 很抱歉，华罗庚告诉人们：“两根线段相乘的结果是可以用圆规直尺作出来的。”的这一说法是很难让人信服的。湘教（湖南教育出版社）版中学数学教材执行主编李尚志出版过《湖南省普通高中课程标准实验教科书选修3－6（三等分角与数域扩张）》湘教（湖南教育出版社）版中学数学教材执行主编李尚志能够告诉别人：李尚志讨论的尺规作图三等分角与华罗庚的讨论尺规作图三等分角的基本出发点是不一样的吗？【在平面几何中，什么样的几何图形能够作为“线段”这个几何图形的单位（单元？）？】----------湘教（湖南教育出版社）版中学数学教材执行主编李尚志可以找一找这个问题的答案。曾肯成：国家秘密的守护者（ 中国科学技术大学档案馆 发布时间：2023-03-27 ）【曾肯成的教学方式极具启发性，他思路清晰，语言生动，一般从数学故事开始。例如，讲《抽象代数》时，他从三等分角、五次方程求根公式这样有名而又有趣的故事开始；】（曾肯成 李尚志的导师）《中国科学报》：一路“斩华雄”的他，是教学最好的“十八罗汉”（news.buaa.edu.cn/info/1006/595... 媒体北航 | 加入时间:2023-07-19）【李尚志清楚地记得在准备研究生考试时，临近考试的3个月前才得知其中一门专业课是“抽象代数”，而这门课程他甚至连名字都没有听说过。】【打开了课本的前言，李尚志意外发现该课程涉及如何证明五次方程没有求根公式等一些经典的数学问题，这让他一下来了兴趣。】比较：【三等分角、五次方程求根公式这样有名而又有趣的故事】【五次方程没有求根公式等一些经典的数学问题】已经可以看到：{湘教（湖南教育出版社）版中学数学教材执行主编李尚志已经把“三等分角、.......这样有名而又有趣的故事”给“等”掉了。}试问湘教（湖南教育出版社）版中学数学教材执行主编李尚志，哈尔滨工业大学出版社数学编辑部刘培杰还要不要背负“刘培杰是站在反科学的立场上”这一说法？###############################################################################【上面的讨论希望能够给出什么？是：在重新讨论三等分角的过程中会有新的东西出现，有的新东西必定会进入数学教材中去的。这是讨论最后会给出的内容。】
孙文先老师：您好！内容有点重复。出发点是努力想把问题讲清楚。步行
2024年上海书展中展示了北京大学出版社出版的《几何之美》一书，作者是黄家礼和戴中元。还展示了上海教育出版社出版的《几何明珠》一书，作者是黄家礼。在《几何之美》和《几何明珠》两书中都提到了一个内容：“可作图数”。黄家礼作者把数分成超越数和代数数两大类。黄家礼作者又从代数数这一大类中列出了“可作图数”和有理数两个小类。也就是说：【“可作图数”不是超越数。代数数也不全是“可作图数”。有理数则一定是“可作图数”。】。黄家礼作者把“可作图数”划定了相应的范围。黄家礼作者用“可作图数”，与几何问题中的“尺规作图”相联系。这也就是所谓的“几何问题代数化”。不知道黄家礼作者有没有想过：“尺规作图”二等分一任意角这一几何内容，会怎么样对“可作图数”作相应的范围的划定？除了“尺规作图”二等分一任意角，还有“尺规作图”四等分一任意角，...........等等。所以，当有人在讨论“尺规作图”三等分一任意角的时候，也要想到在“尺规作图”二等分一任意角时，黄家礼作者所划定的“可作图数”会有什么用？继续讨论尺规作图”三等分一任意角，会有新的内容出现，有些新的内容一定会进入数学教材中去的。
所谓的“几何问题代数化”的讨论。黄家礼作者的“可作图数”，是用：以一为出发点，经加减乘除以及开平方的结果。称之为“可作图数”。“尺规作图”二等分一任意角的代数解释是：以已知或者给定的数为出发点，经加减乘除以及开平方的结果。使得“尺规作图”二等分一任意角成为可能。（没有“几何问题代数化”的解释，“尺规作图”二等分一任意角在几何证明中照样成为可能）这里，“以一为出发点”与“以已知或者给定的数为出发点”有着“大，小”以及“强，弱”的概念差异。这些内容数学老师会向学习平面几何的学生去解释吗？李尚志的“尺规作图只能将数域不断作二次扩张，永远也不能包含不可约三次方程的根。这是证明三等分角不可尺规作图的关键。”李尚志拿什么“将数域不断作二次扩张”？
李尚志的“尺规作图只能将数域不断作二次扩张，永远也不能包含不可约三次方程的根。这是证明三等分角不可尺规作图的关键。”李尚志拿什么“将数域不断作二次扩张”？数域分有理数数域、实数数域和复数数域等。不知道李尚志这个“数域”是指哪一个“数域”？这种东西李尚志也要“简化”？什么叫“不断作二次扩张”？对“复数数域”，李尚志怎么去“不断作二次扩张”？李尚志用“有理数数域”去“不断作二次扩张”的结果一定是“可作图数”？
【我们面对不朽的理性群碑，也就是面对永恒的科学灵魂。在这些灵魂面前，我们不是要顶礼膜拜，而是要认真研习解读，读出历史的价值，读出时代的精神，把握科学的灵魂。】（科学元典《几何原本》 任定成 弁言 北京大学出版社出版 程晓亮 凌复华 车明刚 翻译 2024年2月第一版）****************************************************************下面是《几何原本》的摘录。（程晓亮 凌复华 车明刚 翻译 2024年2月第一版）导读【第七卷至第九卷的许多内容，出自毕达哥拉斯学派；】【《几何原本》构建了一个非常严密的理论体系】【实际上，《几何原本》的严谨逻辑主要体现在“命题”的结构中】【《几何原本》在过去、现在和将来对科学思维的重要作用，怎么强调也不为过。】【他（希尔伯特）首先叙述了一些不予定义的基本概念。】第一卷定义（1）点是�茬﹞壑妒哄C（4）直线是点在其上放置之线。第七卷定义（1）被称之为一的单位使每个事物据之而存在。命题（16）单位E译后记【这里只是提醒读者，本书的范围其实是超出了几何学，】#############################################一方面有：【他（希尔伯特）首先叙述了一些不予定义的基本概念。】----------对欧几里得几何的“修正”。另一方面也有：不断有人去做对欧几里得几何的“科学普及”工作。在对欧几里得几何“尺规作图”相关内容的讨论中，找出当代需要的数学内容。这就是应该注意的重点。
摘录一些内容。《李尚志老师的发言总是充满着睿智的思想，什么是抽象？就是管得宽。算一次顶��穷多次》-------这是文章的标题。（李尚志 GeoGebra与数学深度融合 2024年12月08日 21:59 广东）【李尚志老师的发言总是充满着睿智的思想，扎实的理论功底，和深邃的见解，金句我都给抄下来了】########################################【我觉得：大学数学对中学指导作用最大的不是微积分，而是抽象代数。什么是抽象代数？就是用运算律推出全部代数。抽象代数上管天，下管地，中间管空气。上管天是攻克难题：三等分角为什么不能尺规作图，五次方程为什么没有求根公式。这是挖了民科的祖坟。下管地就是从小学到中学的算术和代数的公理定理算法都是运算律推出来的，这是挖了“不完全归纳法”的祖坟。中间管空气，就是主宰了密码编码理论。】
2024年1月 ，由哈尔滨工业大学出版社刘培杰数学工作室出版了王方汉编著的《数苑漫步 》其中有关于三等分角的讨论：p 54 页（2）三等分任意角问题。不妨设已知角 3θ= 60°， 由三倍角公式， 有 cos(3θ) = 4( cosθ)^3-3( cosθ)=1/2令 cosθ= x 就有 8x^3-6x-1=0由代数知识知，此方程没有有理数根，也没有只含开平方符号且没有高次开方符号的�茞z数根，这说明不能用尺规三等分此角。对60°角尚不可能，对一般角就更不可能了。 ############################################# 作为比较：假如解一个方程：x^3=8如果想判断： 方程 x^3=8 其中有一个根是整数，也是偶数 。需要做什么工作？例如列出像（x=2）这样的根与未知元相关联的表达形式也许是最方便的。因为根2就是整数，也是偶数 。王方汉列出方程 8x^3-6x-1=0后。就直接给出了“由代数知识知，此方程没有有理数根，也没有只含开平方符号且没有高次开方符号的�茞z数根”这么一说。“由代数知识知，此方程没有有理数根，也没有只含开平方符号且没有高次开方符号的�茞z数根”这一说法的合理性理应体现在“根与未知元相关联的表达形式”上。 可是在王方汉关于三等分角问题的论述中找不到这些内容。这是为什么？ 让人引起思考的是：王方汉关于三等分角问题的论述合理性体现在什么地方？#############################################同样：黄家礼 《几何明珠》 p 330 页 8x^3-6x-1=0。这个方程没有有理数根，也没有可作图的根。特殊情形不可以，一般情形也不可以。这就表明。用尺规作图，三等分任意角不可能。黄家礼的论述能够说明“用尺规作图，三等分任意角不可能”的吗？
https://zhuanlan.zhihu.com/p/565376320读华罗庚的三分角问题 weiliesanqing 发布于 2022-09-17 15:02故三等分角的问题一变而成了求x^3-3x-2cosA=0的根问题。取A=120° 方程式便变为 x^3-3x+1=0。这个方程式没有有理根，所以cos40°不能用圆规和直尺作出。（书中的作者华罗庚认为：“这个方程式x^3-3x+1=0没有有理根”，结论是：“所以cos40°不能用圆规和直尺作出”。只是作者华罗庚没有告诉人们：根cos40°究竟具体是“长”什么样子的。）**********************************************************************************************************************《遇见数学之美》 谢永红 北京师范大学出版社p 141 页 8x^3-6x-1=0。这个方程没有二次不尽根的解，因此三等分任意角是不可能的。（ 作者谢永红没有告诉人们：不是“二次不尽根”的解究竟具体“长”什么样子的。）**********************************************************************************************************************《数学证明是怎样的一项数学活动》 肖文强 大连理工大学出版社P132页——P133页【方程的一个根可用圆规及直尺构作出来，它必是形如某层根式】【从三角恒等式cos(3θ) = 4( cosθ )^3-3( cosθ)】【得( 2cosθ)^3-3( 2cosθ)-2（cos3θ）= 0】【构作x= 2cosθ 】【即问：三次方程x^3-3x-2（cos3θ）= 0有没有一个根可用圆规及直尺构作出来？】【例如取3θ= 60°时，方程是x^3-3x-1= 0 】【若它（方程x^3-3x-1= 0 ）有一个根可用圆规及直尺构作出来，则它应有一个有理数根。】【因此，结论是：.........不能用圆规及直尺三等分60°的角。】（ 作者肖文强认为：方程x^3-3x-1= 0 没有有理数根。所以，不能用圆规及直尺三等分60°的角。但是， 作者肖文强根本没有告诉人们：方程x^3-3x-1= 0的根“具体‘长’什么样子”。这个根如何不体现“必是形如某层根式”的？）@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@所以，方程 8x^3-6x-1=0的根（或者方程x^3-3x-1= 0的根以及 x^3-3x+1=0的根）真是一个神秘的根！这里要问：不能用圆规及直尺三等分一任意角的结论依据就是这么个样子的？
https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI2NjE0MTY0MA==&mid=2652747605&idx=1&sn=c1e0b9b227ae5a169b1b09d355658f35&chksm=f0d50cc2011558a20eebfc649f4f76967a342480980062b6b69c52a1c2a9dbf1fd6fcbe4fa56&scene=27一卷永不过期的数学狂怪档案{汪晓勤（华东师范大学 数学系，上海 200062）}【19世纪英国著名数学家德摩根的《悖论集》是一卷形形色色的数学狂怪的经典历史档案，..........读了《悖论集》，你一定会感到再也没有必要对今天的数学狂怪们作什么评论了。】【《中国数学杂志》以及后来更名的《数学通报》多次发表声明，告诫三等分角者不要浪费时间。】**********************************************************************************************************************自然，作者汪晓勤也谈论过“三等分角”的。只不过作者汪晓勤是“三等分角者”的“另一面”，不会“浪费时间”的。见：https://www.doc88.com/p-040673348042.html汪晓勤三等分角 - 道客巴巴 （ 2005 年 5 月）【定理7 从单位长度出发，经有限次有理运算（加、减、乘、除）和开平方运算后所得长度x是可以作图的。】【倍立方问题 x^3-2=0 ..........因此它没有有理根。..........它的根（其中之一为³√2）不能用尺规作出！】【三等分角问题 8x^3-6x-1=0 ..........因此它没有有理根。..........它的根（其中之一为cos20°）不能用尺规作出！】（作者汪晓勤告诉人们³√2是一个开立方的数，作者汪晓勤没有告诉人们cos20°是一个开什么方的数。所以cos20°是一个神秘的数。）（2025-06-25https://it.sohu.com/a/907883666_121123791 宜良县科学家讲坛（第十七期）举行读史使人明智，数学使人周密，数学史的知识不仅具备数学的周密，更具备明智的功能。--------华东师范大学数学科学学院教授、博士生导师汪晓勤，应邀以《走进数学历史，感悟数学思维》为题）（作者汪晓勤以一个神秘的数cos20°为依据，周密和明智地证明了三等分任意角是不可能的！）
