“盈不足”与“杨损陟吏”◆ 龚 焱 中国古典小说《镜花缘》第七十六回中有这样一个情节：廖熙春出了一道题要大家算。题意是，廖熙春离家上京赶考，临走时，亲戚姐妹都来送行。有一个人送来一盘鲜水果，要是每人分7个还多1个，每人分8个又少16个。问有多少人，多少水果。 当时，司徒娬儿说：“这是盈不足算法，有一首歌诀可以解这样的问题。这首歌诀是：‘算家欲知盈不足，两家互乘并为物。并盈不足为人实（实即指被乘数或被除数），分率相减余为法（法即指乘数或除数）。法除物实为物价，法除人实人数目。… 按这个歌诀，以7个、8个相减，余1为法；多1个，少16个相加，共17个为实。法除实就是人数：17÷1=17。再以17×l7+1＝120就是水果数。 这个解法也可用非常通俗的一句话来概括：有余加不足（1+16），大减小来除［（1+16）÷（8一7）］，得人数。当然，如果设人数为x，列出方程：7x+1＝8x-16，这样解就更简单了。 “盈不足”问题的解法，是我国古代数学家的一项伟大创造。它在世界数学史上占有一定的重要地位。 “盈不足”问题的解法，实际上就是现代数学上的线性插值法，又叫试位法、双设法。古代埃及和印度出现过只假设一次的简单的试位法，假设两次的，以我国出现最早、最完备。在欧洲直到13世纪，才首次在意大利数学家斐波拿契的《算盘书》中出现。英国著名的科学史专家李约瑟经过考证，认为这个“试位法”无疑是由阿拉伯数学家传到欧洲去的，他说：“这个方法可能起源中国”。正如我国当代数学史家钱宝琛先生所指出的一样，“试位法”的确是我们中国的“盈不足”，它实际上是我国公元1世纪左右成书的《九章算术》第七章的章名，比西方要早1200年。这是我国古代数学家献给世界数学宝库的一颗璀烂的明珠。 唐代有一个故事，也可说明“盈不足”在历史上的重要地位。 《唐阙（què）史》上记载了一个“杨损陟（zh1，提拔之意）吏”的故事：公元855元左右，唐朝青州尚书杨损在选用和提拔行政官吏方面，以公正闻名。一次，青州要从两名官吏中提拔一名，麻烦的是这两个官吏的职位相同，在官府里作官的时间一样长，甚至他们得到的评语也完全相同。那丑A究竟提拔谁好呢？负责这件事的官吏感到十分为难，拿不定主意，便去请示杨损。杨损考虑了一下说／一个官吏最大的优点，是要计算得快。”于是，他就出了一道题，叫那两个官吏来考试，谁先算对就提拔谁。 杨损出的题是：“有夕，道于丛林问，聆群跃（zh）评窃贿之数。且曰：人六匹则长五匹；人七匹则短八匹。不知几人复几匹？”题目的意思是：有人傍晚在树林中散步，无意间听到几个盗贼在争论怎样分他们偷来的市匹，只听他们说：如果每人分6匹就余下5匹；如果每人分7匹，那�还差8匹。问这伙窃贼共几人？共偷多少匹布？ 杨损让那两个官吏当场在大厅的石阶上用算筹（我国古代的一种计算工具，是用竹或骨制成的短棒）进行计算。不一会儿，其中一人先得出了正确答案，他被提升了。大家对这个办法都表示诚服。 李约瑟在他的著作中曾引用过这个故事，并大书特书，说明“盈不足”问题，在中国唐代曾被用来考核、提拔官吏。亲爱的朋友，杨损出的这道题你会解吗？
