| 發布者 | 內容列 |
訪客
|  國中數學挑戰題 |  | 設n , p 為正整數 , 則 (5n)!/( p^n) 為正整數時 , p 的最
大值為何 ? |
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| 2005-11-07 13:54 | |
s87009812
Just can't stay away
註冊日: 2004-07-25
發表數: 132
台北市立景美國中
| | Re: 國中數學挑戰題 | | P最大值=720
解：
5n!含有2的因數有[5n/2]+[5n/4]+[5n/8]+…＜(5n/2)+(5n/4)+(5n/8)+…=5n
5n!含有3的因數有[5n/3]+[5n/9]+[5n/27]+…＜(5n/3)+(5n/9)+(5n/27)+…=5n/2
5n!含有5的因數有[5n/5]+[5n/25]+[5n/125]+…＜(5n/5)+(5n/25)+(5n/125)+…=5n/4
5n!含有x的因數有[5n/x]+[5n/(x^2)]+[5n/(x^3)]+…＜(5n/x)+(5n/x^2)+(5n/x^3)
+…=5n/(x-1)
若x≧7，則5n/(x-1)＜n，又(5n)!/( p^n) 為正整數，
所以P不可能含有7以上的質因數且P的最大值=2^4*3^2*5=720
例n=5時，25!=2^22*3^10*5^6*…=(2^4*3^2*5)^5*…，此時P的最大值=2^4*3^2*5=720
備註：其中[ ]表高斯符號
轉貼FROM昌爸....
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想要得到什麼,就必須付出相同的代價...這就是煉金術中所說的"等價交換原則".
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| 2005-11-07 21:09 |   |
葉健偉
Not too shy to talk
註冊日: 2005-08-23
發表數: 33
台北縣永和國中701
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| 2005-11-07 21:25 | |
訪客
| | Re: 國中數學挑戰題 | | 先來一題, 開胃菜; 再來一題, 延展題.
本題是中午貼的.
開胃菜及延展題如下
開胃菜
設n 為正整數 , 則 (5n)!/((2^n)(6^n)) 為正整數時 ,請證明之.
延展題:
設n , p 為正整數 , 則 (5n)!/( p^n) 為正整數時 , p 的最大值為何 ?
顏榮皇敬上 |
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| 2005-11-07 22:52 | |
s87009812
Just can't stay away
註冊日: 2004-07-25
發表數: 132
台北市立景美國中
| | Re: 國中數學挑戰題 | | 開胃菜:
因為2^n*6^n=12^n
但任意五個連續整數相乘必有120的因數.
而n個五個連整續數相乘則有n個120的因數.
所以得証.
延展題如上.
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想要得到什麼,就必須付出相同的代價...這就是煉金術中所說的"等價交換原則".
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| 2005-11-08 17:46 | |
