| 發布者 | 內容列 |
simon89889
Just can't stay away
註冊日: 2008-05-13
發表數: 89
|  Re: 難題 |  | 
現在我們有BP垂直於AB
過T做兩圓的切線L，設L交直線AB於C，直線CO2分別交ST,BP於D,E。
如此，我們要證明的是CO2平行於TP
因為，CDxCO2=CT^2=CBxCA，所以O2,A,B,D四點共圓
又S,D,E,B四點共圓
所以角O2AC=角BDE=角ESB
故SE平行AP，又因為SO2平行BP，所以S,O2,P,E為平行四邊形
------>EP=SO2=O2T,角PEO2=角SO2C=角TO2C
------>四邊形TPEO2為等腰梯形
------>CO2平行於TP
所以ST垂直於TP
證畢
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| 2010-10-01 06:10 |  |
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home
註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市
|  Re: 難題 | | 這麼複雜的圖形(包括輔助線),我想我就算想到了前半段
我也會覺得太煩,把圖形整個塗掉重想吧......
另外,我再把前面我講的那個說清楚一點好了
極詳細版:
因為若兩圓與弦AB固定
那麼加上PT垂直ST,則整個圖形是固定的
角PTS也就固定了(兩圓與弦AB固定時)
而如果先不管PT是否垂直ST
那麼顯然AB垂直BP是有可能的
而此情況下,PT垂直ST(simon89889證的)
這表明存在PT垂直ST而AB垂直BP的情況
(不管兩圓與弦AB的位置)
而再針對每一種情況
可知PT垂直ST時,AB可垂直BP
又角PTS在每一種情況下皆固定,故只可能為90度
從而AB必垂直BP
_________________
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| 2010-10-01 07:09 |  |
simon89889
Just can't stay away
註冊日: 2008-05-13
發表數: 89
| | Re: 難題 | | 其實也沒有很複雜啦= =
關鍵步的多寡會影響題目的難度
以我的作法關鍵步只有一步
當沒辦法直接證時就要考慮湊一些線段乘積等式了
只是證一個共圓而已，而且兩個相切圓會想到的就是補切線了
想想2008環球的高中組高級卷那題幾何也是很亂啊
可是把一堆圓冪湊在一起就作完了...
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| 2010-10-01 07:40 | |
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home
註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市
| | Re: 難題 | | 不過看了你的圖,我眼都花了
而且你的圖已經那麼大了
還是有一處交點幾乎在圓周上
對我來說會分不清楚
當然我也想過補切線
但是你的其他輔助線我絕不會再連
連了我會完全亂掉,把整個圖都塗掉重想
我無法像你一樣亂中有序......
一開始看到題目我想到的就是那個不是很嚴謹的想法......
我對這種線段很亂的題目就是沒辦法
像你發問的第二個(證F為定點那個)
我就已經受不了了,畫不出來......
更何況學校才剛教完圓,剛進入"幾何與證明"而已......
_________________
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| 2010-10-01 08:25 | |
yankeerock1
Not too shy to talk
註冊日: 2010-02-21
發表數: 26
| | Re: 難題 | | 這題是今年建中校隊決選的考題 當時沒有人拿到滿分 相當佩服simon的做法 簡潔有力
不知道是何方神聖 真是強者 |
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| 2010-10-01 20:57 | |
b92paul
Just popping in
註冊日: 2005-08-23
發表數: 1
| | Re: 難題 | | 這裡有另一種作法
大圓小圓切點為S
大圓的弦AB切小圓於T
過S作直線L1垂直ST交AB於Y,交小圓於Z
過S作大小圓共同的切線L2交AB於X
過B作垂直AB的直線交L1於B'
現在我們要證AO射線會過B'點就得證(由同一法)
易知ZT會過小圓圓心O且ZT垂直AB於T(ZST是直角)
因為XS=XT且TSY是直角三角形=>所以X為TY中點
所以OX會平行L1(O,X都是中點)
所以OTX會相似B'BY
所以OT:BB'=TX:BY=TX:(2TX-TB)
又因為SX^2=TX^2=XB*XA=(XT-TB):(XT+TA)
所以可知TX:(2TX-TB)=(AT):(AT+TB)=AT:AB
所以OT:BB'=AT:AB
又因角ATO=角ABB'
所以ATO相似ABB'
所以AO射線會過B'
得證(這是AB直線B偏下面時的作法,如果A偏下面時作法類似,運用等式TX^2=(XT-TA):(XT+TB)可得證) |
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| 2010-10-01 22:18 | |
