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      /  環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題
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發布者內容列
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題

4.若對角線通過一個黑正方形的頂點算通過此正方形嗎??

3.沒時間打詳細解答了,概略說一下
有,策略:右1分鐘,左20分鐘,右20^2分鐘,左20^3分鐘...
如此這樣即可
證明:若小偷走右邊,那麼在追到之前
向左開1分鐘相當於遠離小偷190%的巡邏車分速
向右開1分鐘相當於靠近小偷10%2呃巡邏車分速
把策略看成[右1分鐘][左20分鐘,右20^2分鐘][左20^3分鐘,右20^4分鐘]...
那麼可知每個括弧分別靠近小偷10,200,4000,80000...%的巡邏車之分速(很容易證明會這樣)
這樣,總有一天會追到
類似道理可證小偷往左邊的
若小偷在往一個方向走後折返或停住,此策略依然可用
若一開始就停在那裡,那更不用說了


_________________
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 2010-11-22 00:36個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
WENDYCHI
Home away from home



註冊日: 2007-08-27
發表數: 987
^^^ ( ^_^ |||) ^^^

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題

4.每次經過一條線就換一個顏色
(經過直橫線的交點等於經過兩條線)
因此對角線最多只會經過n個黑色的矩形
因此對角線每次都會經過交點
如圖

可得黑格子面積總合-白格子面積總合
=(A-B+C-D+...+N)^2>=0


_________________
BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
B-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NN
BBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N

超混的俱樂部成員

 2010-11-22 20:07個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題

第4題我的解法跟你相同
但我沒證出圖形一定會長這樣,只是猜測

1.(b)原來我搞錯題意了,重看了題目就解出來了
假設金錢可不斷的增多,設投入X元L國幣
出來的會是XS+P元的M國幣(1/2>=P>-1/2)
再投回去出來的是X+(P/S)四捨五入後的L國幣
而X+(P/S)四捨五入後必須大於X(因為不斷增多)
故P/S>=1/2,2P>=S,1>=2P>=S(1/2>=P>-1/2),1>=S
若S=1,則第一次兌換出來的金額為整數,再兌換一次則不變,與假設矛盾
若1>S,則1/S>1,由上面同理可證
三次兌換後的金額要大於一次兌換後的金額
而前題為1>=1/S,故矛盾
故答案為否


5.
答:13局
解法:若有一人勝X局,則最後一場比賽時
他勝的局數只能是X或X-1局(比完後可能淘汰或多勝一局)
能和他比的人只能是勝X-1,X,X+1局或X-2,X-1,X局
比完後對手勝的局數只能是X,X+1,X+2局或X-2,X-1,X局
(相對的對手比完後是多勝一局或淘汰)
必勝X-2局以上,故假設有一人勝14局以上
那麼必有人勝12,10,8,6,4,2局以上
但2+4+6+...+14=56>55-1,故不可能有人勝14局以上
(55-1是指總場數,54場比完才能淘汰54人產生冠軍)
冠軍勝13局的例子如下:
...........................................


不用看了,突然發覺我算錯了!!


_________________
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 2010-11-22 21:42個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
ricktu
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註冊日: 2009-08-23
發表數: 179
台北市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題

第3題:
我的想法:

圖中X軸為位置,Y軸為時間,黑線為警察局的位置
藍線和綠線為兩條小偷可能走的路
假設有兩位警察,分別走兩條紅色虛線,那一定能抓到小偷(紅色虛線的斜率比藍線,綠線大)
現在只有一位警察(紅色實線),若斜率比紅色虛線大,則可以來回碰到兩條紅色虛線,也可以遇到小偷


_________________
01010010011010010110001101101011001000000101010001110101

 2010-11-22 23:21個人資料
bobogei81123
Just popping in



註冊日: 2009-02-02
發表數: 9


 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題

0.0
第5題的55應該不是1加到10的意思吧..
感覺跟費破那西數列比較有關???

 2010-11-23 21:25個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
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註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題

確實啦,我上面已經寫答案了,答:13局
但跟費波那西數列亦無關,數字無玄機
我爸說我花太多時間打詳細解答了,粗略寫
2+4+6+...+14=56>55-1,故14局以上不可能
而13局已找出例子(找例子時會覺得數字很巧,其實不然)
另外,我第三題的策略和第五題的解法找時間慢慢補上(我會用編輯的)


_________________
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 2010-11-23 22:43個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
santion1
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註冊日: 2008-02-20
發表數: 5


 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題

但是警車速率應該都是以最高速率前進
所以虛線跟實線的斜率應該會一樣才對阿
若實線斜率較大
也就代表一個警察時(實線)的警車
比另外兩位警察開的警車(虛線)來快不是嗎??

引文:

ricktu 寫道:
第3題:

圖中X軸為位置,Y軸為時間,黑線為警察局的位置
藍線和綠線為兩條小偷可能走的路
假設有兩位警察,分別走兩條紅色虛線,那一定能抓到小偷(紅色虛線的斜率比藍線,綠線大)
現在只有一位警察(紅色實線),若斜率比紅色虛線大,則可以來回碰到兩條紅色虛線,也可以遇到小偷

 2010-11-23 23:51個人資料傳送 Email 給 santion1
zaq1bgt5cde3mju7
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註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題

我想它的意思應該是指紅虛線的速度假設在90%和100%之間
然後紅實線才是100%吧,小偷速度仍是90%

不過我的策略至少沒問題吧??(寫在上面)


_________________
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 2010-11-24 20:54個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
WENDYCHI
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註冊日: 2007-08-27
發表數: 987
^^^ ( ^_^ |||) ^^^

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
1.(b)原來我搞錯題意了,重看了題目就解出來了
假設金錢可不斷的增多,設投入X元L國幣
出來的會是XS+P元的M國幣(1/2>=P>-1/2)
再投回去出來的是X+(P/S)四捨五入後的L國幣
而X+(P/S)四捨五入後必須大於X(因為不斷增多)
故P/S>=1/2,2P>=S,1>=2P>=S(1/2>=P>-1/2),1>=S
若S=1,則第一次兌換出來的金額為整數,再兌換一次則不變,與假設矛盾
若1>S,則1/S>1,由上面同理可證
三次兌換後的金額要大於一次兌換後的金額
而前題為1>=1/S,故矛盾
故答案為否



我比較想知道1.99999...可不可以


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BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
B-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NN
BBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N

超混的俱樂部成員

 2010-11-24 22:08個人資料
ricktu
Home away from home



註冊日: 2009-08-23
發表數: 179
台北市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題

小偷速率<"虛擬警車"(紅色虛線)速率<警車速率

追小偷的步驟:
1.讓兩輛比小偷快的"虛擬警車"分別向左右兩邊尋找小偷(因為比小偷快,其中一定有一輛會遇到小偷)
2.等一段時間(很短也沒關係,但不能為0,否則警車將會在第一刻無限的來回震盪...雖然不會拖延時間(好奇怪))
3.真實警察開真實警車往右邊走,直到追到右邊的虛擬警車(因為比虛擬警車快,一定能追到虛擬警車)
4.真實警車往左邊走,直到追到左邊的虛擬警車,(因為比虛擬警車快,一定能追到虛擬警車)
重複3,4
在其中一邊的虛擬警車追過小偷後的下一次真實警車走向該虛擬警車時,在途中就會遇到小偷


_________________
01010010011010010110001101101011001000000101010001110101

 2010-11-24 22:15個人資料
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