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      /  環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題
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發布者內容列
galois5
Just can't stay away



註冊日: 2003-11-08
發表數: 86


 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

幫忙貼前一位網友的方法:
註:其實小方檢驗 4ab-(c+d)^2,只要找到一組合理
(cd >0,orcd< 0 且c+d>0)的等式即可求出x,y.

引文:

寫道:
令S={x+y, x-y, xy, x/y}
首先,由於x,y爲正數,故在x+y, x-y, xy, x/y中只有x-y可能不是正數。
以下分三種情況討論:
(a) S含0,則x=y, x/y=1. 考慮S中非零數的積,由(xy).(x+y)=2x^3得到x,y.

(b) S含負數,這時有x<y, x/y<1. 記T={x+y,xy,x/y}
令N爲T中小於1的數的個數
(b1) N=1, 則T中最小的數爲 x/y .由x-y,x/y可確定x.y.

(b2) N=2, 這時x+y不能小於1(若x+y<1,則x<1,y<1,xy<1,從而N=3),
則T中最大的數爲 x+y .由x-y,x+y可確定x.y.

(b3)N=3, 這時x+y<1, 有y<1. 於是 xy<x+y, xy<x/y爲T中最小的數. 由x-y,xy可確定x.y.

(c)S中均爲正數。
我們證明可將S中四個數分爲兩組A,B,每組兩個數.使得A中兩個數的和得平方爲B中兩個數的積的4倍,且A中的數的數值唯一確定。
由於可取A={x+y,x-y},B={xy.x/y},從而若上面斷言成立,則A中兩數的值必爲x+y,x-y,這樣便可確定x,y.

現在證明這一點:
假設有分法A,B和A’,B’;A和A’不同,則有兩種可能:
(c1) A和A’沒有相同的數,
令A,A’中的數分別爲a,b;c,d;
則S={a,b,c,d};B={c,d} ,B’={a,b}
這時有 (a+b)^2=4cd ,(c+d)^2=4ab;
於是 (a-b)^2+(c-d)^2=0
得到a=b,c=d;
進而由(a+b)^2=4cd,
得到 a=b=c=d or a=b= -c= -d
前者要求x+y=x-y, 後者說明有兩個負數.均不可能!

(c2)A和A’恰有一個相同的數,
不妨設A={a,b},A’={a,c} ,S={a,b,c,d}, 且b不等於c。
於是 (a+b)^2=4cd ,(a+c)^2=4bd;
則 b(a+b)^2-c(a+c)^2=0
即(b-c)(a^2+2a(b+c)+b^2+bc+c^2)=0
但是b-c非零,且由a,b,c,爲正數有a^2+2a(b+c)+b^2+bc+c^2>0。矛盾!

以上分析表明可唯一確定x,y.

 2004-10-29 00:57個人資料
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

孫先生
看過環球的題目後
發現他是與其他數學競賽有著很大差異的比賽
就如同你說的
他不需要俱備太多的高深知識
但我覺得
第一次去考這個的人
可能會受到嚴重的打擊
因為會一題也寫不出來
就如同我...................

 2004-10-30 13:33
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

考零分是正常的,有分數就是非常了不起的。
希望您看一看給參賽者的信,免得受傷害了。

孫文先敬上
給參賽者的一封信
The International Mathematics Tournament of the Towns

The Tournament of the Towns is perhaps the second most prestigious international mathematics competitions for high school students, after the International Mathematical Olympiad.
In two important ways, the Tournament is a superior competition. First, any number of students can participate, whereas the Olympiad is limited to a maximum of six students from each country. Since the Tournament is written locally, the expenses involved are minimal. This allows a large number of students to enjoy a taste of high-level international competition. Second, the problems are composed by outstanding practitioners of the art. They are chosen purely on merit, unencumbered by other considerations. It is often frustrating in the Olympiad to see beautiful problems wasted because certain interest groups machinate against them for ulterior motives.
The Tournament is more like a mathematical laboratory than an examination, again in two important ways. First, there are no big prizes to win, and so far, there is no propaganda value attached to the event. Thus participants should not feel any undue pressure. Unlike an examination when the students are supposed to know everything on which they are tested, the Tournament is designed to challenge their creativity. They should not feel ashamed if they are unable to solve any of the problems, because this is what is expected. Thus students should feel proud if they manage to conquer even one problem. Second, a generous amount of time is allowed for the Tournament. The usual examination really tests students whether they can answer routine questions quickly and accurately. There is really no time to ponder how a particular question is to be approached. This nurtures a bad work habit in students who tend to give up too easily on problems that do not yield immediately to an attack. Herein lies the main reason why a large number of students do poorly in the Tournament. It is not for lack of talent or effort, but lack of experience. They must not expect to read the problem and be able to write down the solution right away. They must learn to experiment with the given conditions and try to discover patterns or foster inspiration. These are essential ingredients in a successful research career, and the students cannot start too soon on acquiring such experience.

International Mathematics Tournament of the Towns
Vice-president
Andy Liu

(環球城市數學競賽是僅次於國際奧林匹亞(IMO)第二個最具聲望的中學生國際數學競賽。
環球城市數學競賽是一個較優越的競賽。這可以從兩個重要方向來看。首先,大多數的學生都能夠參與這個競賽,而在國際奧林匹亞競賽中,每個國家卻局限於最多六名學生有機會參加。因為環球城市數學競賽的試務是在各地自行舉辦的,所需的經費較少。這便允酗j量的學生來參與並享受一次高水準的國際競賽。第二,試題由具傑出經驗的專家所命題的。它這題目純粹因數學才能、趣味等因素而被選出來,不受其他因素干擾。在IMO競賽中則常見到一些漂亮的備選題因涉及各國爭取獎牌的隱秘動機,而被人策劃否決了。
環球城市數學競賽比較像是一種數學的實驗而非考試。同樣也可以由兩方面來看。首先,它沒有可能贏得大獎,目前為止也沒有什麼相關的宣傳價值。因此參賽者不會感到任何不適的壓力。不像一般考試,當學生受測時已經被假設他應該了解考試內容的一切知識。環球城市數學競賽是被設計用來挑戰參賽者的創造力,如果他們不能解答任何題目,他們不該因而感到羞恥,因為這是被預料中的結果。反過來說,學生能設法征服任一個問題得到一點分數,他們應該是感到光耀的。再者,環球城市數學競賽給予參賽者充足的時間來解題,而一般的考試只測驗學生能否迅速而精確的回答出制式的問題。他們確實沒有時間來思慮問題應該如何入手,久而久之,便養成學生面對無法立即克服的問題時,輕易地就言放棄的壞習慣。這也就是釵h學生在環球城市數學競賽中考的不好的主因。這並不是他們缺少天賦或者努力,而是缺乏了經驗。一般人通常無法在嬝爭僭暋D後能立即把解答寫出來,他們必須學習去琢磨給定的條件,並試著去發現線索或產生靈感。這些都是成左漪膍s人員相當重要的基本奶牷A學生應該盡快學習。環球城市數學競賽副主席 劉江楓)

 2004-10-30 14:51
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

謝謝你
孫先生

 2004-10-30 23:31
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

我說一下我的解法....
不知對不對

小丁心裡想著兩個正數x、y,並在黑板上依隨意的順序寫下x+y、x—y、x × y及x÷y四個數,然後請小方來猜他心理想的那兩個數。試證只看到黑板上所寫的四個數,小方一定有足夠的訊息可以唯一地算出x、y之值。

題目只說證:「一定有足夠的訊息可以唯一地算出x、y之值。」
所以:

因為[(x+y)+(x-y)]/2=(xy)*(x/y)^2
我們先任選2個數來算以上算式
若合
則可求出x
又可試出唯一的y
若不合
則掉換一數必可合此算式
接下來依樣畫葫蘆
即可得解

 2004-10-31 20:46
galois5
Just can't stay away



註冊日: 2003-11-08
發表數: 86


 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

引文:

寫道:
我說一下我的解法....
不知對不對

因為[(x+y)+(x-y)]/2=(xy)*(x/y)^2
我們先任選2個數來算以上算式
若合
則可求出x
又可試出唯一的y
若不合
則掉換一數必可合此算式
接下來依樣畫葫蘆
即可得解



符合這種等式可能不只一個,請參儕e幾篇討論。

 2004-11-01 14:15個人資料
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

引文:

寫道:
孫先生
看過環球的題目後
發現他是與其他數學競賽有著很大差異的比賽
就如同你說的
他不需要俱備太多的高深知識
但我覺得
第一次去考這個的人
可能會受到嚴重的打擊
因為會一題也寫不出來
就如同我...................



我認為環球數競好就好在不需要俱備太多的高深知識,學校的考試就好像在逼你狂作題一樣,時間短且題目長.環球數競比學校考試有趣多了,為什麼學校段考部考這類題目呢?

 2004-11-01 20:40
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

因為並不是每一個人都想的出來

 2004-11-02 17:57
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

你的說法不好,因為學校考試也有人想不出來阿。

 2004-11-02 20:50
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

因為學校老師想不出這樣的題目…

因為這種題目的解答老師不會改…

因為很多人考零分就排不出名次…

因為基本學測並不考這樣的題目…

因為…

 2004-11-02 21:17
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