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孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 Re: 天平問題

引文:

forever932 寫道:
6. 已知有六片重量都不相等的乳酪可以分為二堆,每堆各有三片,且總重量相等。假設對於任何二片乳酪,我們都可以經由目測明顯地分辨出何者較重。試問:如何使用沒有刻度的天平只秤2次,就可以把這六片乳酪分為各有三片,且總重量相等的二堆?(2002 Spring, Senior O-Level 3.)

設由重到輕依序是:A,B,C,D,E,F
則重量相等只可能有以下五組:
(1) A+B+F = C+D+E
(2) A+C+F = B+D+E
(3) A+D+E = B+C+F
(4) A+D+F = B+C+E
(5) A+E+F = B+C+D

第一次秤(3),若相等即為(3);
若左邊較輕,第二次秤(2),若相等即為(2),若重量不同,即為(1);
若左邊較重,第二次秤(4),若相等即為(4),若重量不同,即為(5)。


要把各種情況都討論完整才可以。


_________________
孫文先 敬上

 2007-02-02 13:43個人資料傳送 Email 給 孫文先
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 Re: 天平問題

引文:

forever932 寫道:
5. (1)有二種不同重量的金幣共128枚,每一種各64枚。試問:如何使用沒有刻度的天平,在秤不超過7次的情形下,找出二枚不同重量的金幣?

依序先將金幣編號為:1,2,3,…,128
以下秤的過程中,第一次若不相等,假設左邊重於右邊;
若從第一次至第n次皆相等,則第n+1次將第n次左邊分成一半來秤。
若第n次是左重於右,則第n+1次為第n次兩邊各取剩下的一半個金幣來秤。
若第n次為相等或右重於左,則可由第n-1次推導出左重於右的式子(見下例)。
其中第7次若相等,則往上找出不相等的兩枚金幣。
以下舉例:
[1]  (1,2,…,64) = (65,66,…128)
[2]  (1,2,…,32) > (33,34,…,64)
[3]  (1,2,…,16) = (33,34,…,48) → (17,18,…,32) > (49,50,…,64)
[4]  (17,18,…,24) > (49,50,…,56)
[5]  (17,18,19,20) < (49,50,51,52) → (21,22,23,24) > (53,54,55,56)
[6]  (21,22) < (53,54) → (23,24) > (55,56)
[7]  (23) = (55) → (24) > (56)
故24和56為重量不同的兩枚金幣。


您的答案有問題,如果第n+1秤平衡時怎麼辦?
必須把所有可能的情況考慮到。


_________________
孫文先 敬上

 2007-02-02 13:19個人資料傳送 Email 給 孫文先
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 Re: 天平問題

您還要驗證為什麼用這些砝碼可行。
否則只能有4/7的分數。

引文:

forever932 寫道:
10. 是否存在k個整數克重的砝碼(不同砝碼可能有相同重量),用天平可以秤出從1克到55克重的任何物體,甚至少了幾個砝碼也能做到這點。對下面兩種特殊情形存在嗎?(規定秤的時候,物體放一邊,砝碼放一邊。)

(1)k=10,少了任何一個砝碼。
先選兩個重量為1克的砝碼,如果少了一個1克砝碼,則無法秤出2克,故加上一個2克的砝碼;如果少了目前最重的2克砝碼,則無法秤出3克,故加上3克的砝碼;同理,第n個砝碼取(第1到第n-2的砝碼總和+1)的重量,即這些砝碼重量為費氏數列,可用數學歸納法證明之。
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55

(2)k=12,少了任何兩個砝碼。(1993 Autumn, Junior A-level 6.)
同上,取三個重量為1克的砝碼,第n個砝碼取(第1到第n-3的砝碼總和+1)的重量,此數列第n項為(第n-1項與第n-3項之和)。
1,1,1,2,3,4,6,9,13,19,28,41


_________________
孫文先 敬上

 2007-02-02 13:11個人資料傳送 Email 給 孫文先
forever932
Just popping in



註冊日: 2005-09-15
發表數: 10
Wego Senior High School

 Re: 天平問題

10. 是否存在k個整數克重的砝碼(不同砝碼可能有相同重量),用天平可以秤出從1克到55克重的任何物體,甚至少了幾個砝碼也能做到這點。對下面兩種特殊情形存在嗎?(規定秤的時候,物體放一邊,砝碼放一邊。)

(1)k=10,少了任何一個砝碼。
先選兩個重量為1克的砝碼,如果少了一個1克砝碼,則無法秤出2克,故加上一個2克的砝碼;如果少了目前最重的2克砝碼,則無法秤出3克,故加上3克的砝碼;同理,第n個砝碼取(第1到第n-2的砝碼總和+1)的重量,即這些砝碼重量為費氏數列,可用數學歸納法證明之。
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55

(2)k=12,少了任何兩個砝碼。(1993 Autumn, Junior A-level 6.)
同上,取三個重量為1克的砝碼,第n個砝碼取(第1到第n-3的砝碼總和+1)的重量,此數列第n項為(第n-1項與第n-3項之和)。
1,1,1,2,3,4,6,9,13,19,28,41

 2007-02-02 09:59個人資料
forever932
Just popping in



註冊日: 2005-09-15
發表數: 10
Wego Senior High School

 Re: 天平問題

5. (1)有二種不同重量的金幣共128枚,每一種各64枚。試問:如何使用沒有刻度的天平,在秤不超過7次的情形下,找出二枚不同重量的金幣?

依序先將金幣編號為:1,2,3,…,128
以下秤的過程中,第一次若不相等,假設左邊重於右邊;
若從第一次至第n次皆相等,則第n+1次將第n次左邊分成一半來秤。
若第n次是左重於右,則第n+1次為第n次兩邊各取剩下的一半個金幣來秤。
若第n次為相等或右重於左,則可由第n-1次推導出左重於右的式子(見下例)。
其中第7次若相等,則往上找出不相等的兩枚金幣。
以下舉例:
[1]  (1,2,…,64) = (65,66,…128)
[2]  (1,2,…,32) > (33,34,…,64)
[3]  (1,2,…,16) = (33,34,…,48) → (17,18,…,32) > (49,50,…,64)
[4]  (17,18,…,24) > (49,50,…,56)
[5]  (17,18,19,20) < (49,50,51,52) → (21,22,23,24) > (53,54,55,56)
[6]  (21,22) < (53,54) → (23,24) > (55,56)
[7]  (23) = (55) → (24) > (56)
故24和56為重量不同的兩枚金幣。

 2007-02-02 09:39個人資料
David
Just can't stay away



註冊日: 2006-04-09
發表數: 101


 Re: 天平問題

謝謝孫老師的另一解
比我的解漂亮多了

 2007-02-01 11:33個人資料
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 Re: 天平問題

引文:

David 寫道:
10. 是否存在k個整數克重的砝碼(不同砝碼可能有相同重量),用天平可以秤出從1克到55克重的任何物體,甚至少了幾個砝碼也能做到這點。對下面兩種特殊情形存在嗎?(規定秤的時候,物體放一邊,砝碼放一邊。)

(1)k=10,少了任何一個砝碼。1,1,2,2,4,5,8,16,16,32
我大致檢查了一下
希望沒有錯


另一解答為
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55
此解在89以下均可以。


_________________
孫文先 敬上

 2007-02-01 09:01個人資料傳送 Email 給 孫文先
David
Just can't stay away



註冊日: 2006-04-09
發表數: 101


 Re: 天平問題

E6. 有重量為1、2、…、27克的物品各1個,最少用幾個砝碼可分辨出其重量?這些砝碼的重量各是多少克?(不限秤1次;已秤出的物品不可以當作砝碼;法碼可以任意放在天平的二側。)

2,6,18三個即可
(左) (右)
(1) (物品) (2)
(2) (物品) (6)
(3) (物品+2) (6)
(4) (物品) (6+2)
(5) (物品+6+2) (18)
(6) (物品+6) (18)
(7) (物品+6) (18+2)
(8) (物品+2) (18)
(9) (物品) (18)
(10) (物品) (18+2)
(11) (物品+2) (18+6)
(12) (物品) (18+6)
(13) (物品) (18+6+2)

大:大於,等:等於,小:小於

1:(1)小
2:(1)等
3:(1)大(2)小(3)小
4:(1)大(2)小(3)等
5:(1)大(2)小(3)大
6:(1)大(2)等
7:(1)大(2)大(3)大(4)小
8:(1)大(2)大(3)大(4)等
9:(1)大(2)大(3)大(4)大(5)小
10:(1)大(2)大(3)大(4)大(5)等
11:(1)大(2)大(3)大(4)大(5)大(6)小
12:(1)大(2)大(3)大(4)大(5)大(6)等
13:(1)大(2)大(3)大(4)大(5)大(6)大(7)小
14:(1)大(2)大(3)大(4)大(5)大(6)大(7)等
15:(1)大(2)大(3)大(4)大(5)大(6)大(7)大(8)小
16:(1)大(2)大(3)大(4)大(5)大(6)大(7)大(8)等
17:(1)大(2)大(3)大(4)大(5)大(6)大(7)大(8)大(9)小
18:(1)大(2)大(3)大(4)大(5)大(6)大(7)大(8)大(9)等
19:(1)大(2)大(3)大(4)大(5)大(6)大(7)大(8)大(9)大(10)小
20:(1)大(2)大(3)大(4)大(5)大(6)大(7)大(8)大(9)大(10)等
21:(1)大(2)大(3)大(4)大(5)大(6)大(7)大(8)大(9)大(10)大(11)小
22:(1)大(2)大(3)大(4)大(5)大(6)大(7)大(8)大(9)大(10)大(11)等
23:(1)大(2)大(3)大(4)大(5)大(6)大(7)大(8)大(9)大(10)大(11)大(12)小
24:(1)大(2)大(3)大(4)大(5)大(6)大(7)大(8)大(9)大(10)大(11)大(12)等
25:(1)大(2)大(3)大(4)大(5)大(6)大(7)大(8)大(9)大(10)大(11)大(12)大(13)小
26:(1)大(2)大(3)大(4)大(5)大(6)大(7)大(8)大(9)大(10)大(11)大(12)大(13)等
27:(1)大(2)大(3)大(4)大(5)大(6)大(7)大(8)大(9)大(10)大(11)大(12)大(13)大

這樣就可以用2,6,18三個砝碼來分辨其重量

 2007-02-01 07:56個人資料
David
Just can't stay away



註冊日: 2006-04-09
發表數: 101


 Re: 天平問題

10. 是否存在k個整數克重的砝碼(不同砝碼可能有相同重量),用天平可以秤出從1克到55克重的任何物體,甚至少了幾個砝碼也能做到這點。對下面兩種特殊情形存在嗎?(規定秤的時候,物體放一邊,砝碼放一邊。)

(1)k=10,少了任何一個砝碼。1,1,2,2,4,5,8,16,16,32
我大致檢查了一下
希望沒有錯

 2007-02-01 06:31個人資料
forever932
Just popping in



註冊日: 2005-09-15
發表數: 10
Wego Senior High School

 Re: 天平問題

3. 己知在32個外觀相同的金幣中有兩個是假幣,這兩個假幣的重量與真幣的重量不同(每個真幣的重量都相等;兩個假幣的重量相等)。假若至多只能用天平秤4次(天平只能顯示兩堆金幣中,哪堆重量較重,或兩堆重量相等)。試問:如何將這32個金幣分為重量相等的兩堆?(2000 Autumn, Junior O-Level 4.)

若在某次秤到重量相等,即為所求,故以下不討論相等的情形。
將此32個金幣分成16組,每組2個,依序編號為1,2,…,16。
設以下皆為左邊重於右邊:
[1]  (1,2,3,4,5,6,7,8) (9,10,11,12,13,14,15,16)
[2]  (1,2,3,4, 9,10,11,12) (5,6,7,8,13,14,15,16)
[3]  (1,2,13,14, 9,10,11,12) (5,6,7,8,3,4,15,16)
[4]  (1,15,13,14, 9,10,11,12) (5,6,7,8,3,4,2,16)
※ 若途中有右邊重於左邊的,可將編號更改。
例:若[2]為右邊較重,可將(1,2,3,4)和(5,6,7,8)編號調換。
若假幣較重,則必為編號為1的兩個金幣;若假幣較輕,則必為編號為16的兩個金幣。
故最後在[4]的分法中,從編號為1和16各抽出一個金幣調換,即為所求。

 2007-01-31 15:21個人資料
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