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2018 澳洲AMC數學能力檢定


2017年國際中小學數學能力檢測(IMAS)


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      /  國中難題
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發布者內容列
阿祥
Just popping in



註冊日: 2007-01-29
發表數: 6


 國中難題

1.已知可找到a、b 為正整數,使得123456789=(11111+a)(11111–b),則下列敘述何者正確?
(1) a 為奇數 (2) b 為奇數 (3) a、 b 是一奇數一偶數 (4) a < b (5) a–b 是4 的倍數


2.一個正整數如果從左讀到右與從右讀到左相同,則稱這個數為迴文數。例如:1、88、747及2002。若將五位數中的所有迴文數由小到大排成一數列:10001,10101,……,則78987 是這個數列中的第幾項?


3.一數列a1,a2,a3,…,an,…各項均為正整數,且a1≤a2≤a3≤…≤an≤…。若
a7=120,a(n+2)=a(n)+a(n+1),(n≥1),則a8=

4.一串數列1,4,7,10,……,697,700 的規律是:第一個數是1,以後的每一個數等於它前面的一個數加3,直到700 為止。將所有這些數相乘,則所得之數的尾部,0 的個數共有幾個?
(例如:數字200307150000 的尾部,0 的個數有4 個)

5.一個正常的時鐘,它的分針和時針會在五點幾分重疊?

6.若a,b,c為整數且|a−b|+|c−a|=1,試求:|a−c|+|a−b|+|b−c|=?

7.想在某個國家的大城市中建立航空網,其規則如下:
(1) 任何一個大城市都與不多於三個大城市有直達航班。
(2) 從任一個大城市到另一個大城市可找到一條直達或轉機一次的路徑。
試問:這個國家最多可能有幾個大城市?就你的答案畫出相應的航空網,並說明之。

8.將質數由小到大排列,兩連續質數的平方差為672,試求此兩質數?

 2008-06-17 07:51個人資料
笑哥
Just can't stay away



註冊日: 2007-11-14
發表數: 76


 Re: 國中難題

1.
123456789=11111^2+2468=11111^2+11111(a-b)-ab
(11111-b)(a+1)=13579,故a,b為偶數,ab為4的倍數,
11111(a-b)-ab=2468,故a-b為4的倍數
2.
1位數迴文數有9個,2位數迴文數有9個,3位數迴文數有9*10個,4位數迴文數有90個
abcba,ab=10~78,c=0~9,69*10=690,9+9+90+90+690=888
故78987為第888項
3.
a3=a2+a1,a4=a3+a2=2a2+a1,.....,a7=a6+a5=8a2+5a1=120
(a1,a2)=(8,10)
a8=a7+a6=13a2+8a1=194
4.
1+3a=5b,其中a=3+5k,k=0,1,2,........46
1+3a=25b,其中a=8+25k,k=0,1,2,.....9
1+3a=125b,其中a=83+125k,k=0,1
1+3a=625b,其中a=208+625k,k=0
47+10+2+1=60,故尾部0 的個數共有60個
5.
設5點x分時重叠
25+x/12=x,x=300/11,故在五點27又3/11分時重叠.
6.
(1).|a-b|=1,a=c時, |a−c|+|a−b|+|b−c|=2
(2).|c-a|=1,a=b時,|a−c|+|a−b|+|b−c|=2
7.
在三角形ABC中,於BC邊上找到異於B,C的一點D,連接AD
在AD邊上找到異於A,D的一點E,連接BE,CE即符合所求,故最多可能有5個大城巿.
8.
設a > b,a^2-b^2=672,a+b > a-b
(a+b)(a-b)=672=336*2=168*4=84*8=48*14=42*16
故(a,b)=(31,17),(29,13)

 2008-07-06 22:32個人資料
joey
Home away from home



註冊日: 2006-09-15
發表數: 257
nowhere

 Re: 國中難題

引文:

笑哥 寫道:
7.
在三角形ABC中,於BC邊上找到異於B,C的一點D,連接AD
在AD邊上找到異於A,D的一點E,連接BE,CE即符合所求,故最多可能有5個大城巿.




幫我檢查一下:
A,B,C,D,E,F六個大城市,
A連B,D,F
B連A,C,E
C連B,D,F
D連A,C,E
E連B,D,F
F連A,C,E


_________________
我們究竟來自何方,我們為何如此,又將前往何處?

 2008-07-29 15:47個人資料傳送 Email 給 joey
joey
Home away from home



註冊日: 2006-09-15
發表數: 257
nowhere

 Re: 國中難題

不知為什麼,我又找到7個的解,拜託幫忙檢查一下
A,B,C,D,E,F,G 七個大城市
B,C,D,E,F,G排成六邊形,A在中央 (這樣比較好畫)
A連C,E,G
B連C,D,F
C連A,B
D連B,E,F
E連A,D
F連B,D,G
G連A,F


_________________
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 2008-07-29 16:47個人資料傳送 Email 給 joey
joey
Home away from home



註冊日: 2006-09-15
發表數: 257
nowhere

 Re: 國中難題

還有八個的解
A,B,C,D,E,F,G,H 八個大城市
A,B,C,D是在外面的正方形(按照逆時針順序),E,F,G,H是在裡面的正方形 (同樣,比較好畫)
A連B,D,E
B連A,C,F
C連B,D,G
D連A,C,H
E連A,F,G
F連B,E,H
G連C,E,H
H連D,F,G

幫忙檢查一下
接下來就看有沒有證明


_________________
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 2008-07-29 17:02個人資料傳送 Email 給 joey
joey
Home away from home



註冊日: 2006-09-15
發表數: 257
nowhere

 Re: 國中難題

只看其中任意一個大城市A,他最多可以連到3個其他大城市,這三個大城市最多可以分別再連到2個大城市,所以任意一個大城市最多可以對9個大城市達到題目要求,所以最多不會超過10個大城市


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 2008-08-06 10:46個人資料傳送 Email 給 joey
joey
Home away from home



註冊日: 2006-09-15
發表數: 257
nowhere

 Re: 國中難題

找到10個大城市的解:ABCDEFGHIJ 十個大城市
A連BCD
B連AEF
C連AGH
D連AIJ
E連BGI
F連BHJ
G連CEJ
H連CFI
I連DEH
J連DFG

因為最多10個,而且10個大城市有解,所以上限為10個


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 2008-08-16 19:07個人資料傳送 Email 給 joey
Jason+Weber
Home away from home



註冊日: 2004-03-27
發表數: 194
無間地獄

 Re: 國中難題

紅線是由A城市出發的直達航班,紅線接藍線則是由A點出發轉機一次的航班。也就是說,由任何一個城市出發,最多可以直達或是轉機一次到的城市就是9個。加上A城市,剛好10個,不會更多了!

http://mathamateur.blogspot.tw/2015/04/blog-post.html


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我認為數學之所以迷人,在於你總是能找到美妙的解法(By Mathplayer 2007/05/11)

三角習題看不破 排列組合總難解 人生幾何可有數 手拎尺規任我學

A Mathmaniac/Mathfanatic/Mathnut

 2015-04-25 06:15個人資料拜訪網站


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