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2022青少年數學國際城市邀請賽(IIMC 2022,印尼萬隆市))


第18屆國際小學數學及自然科學奧林匹亞 (18th IMSO)


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linian
Home away from home



註冊日: 2005-11-07
發表數: 292


 徵求高手幫忙一下

證明:
所有n屬於N,n大於等於3
有a,b屬於A
(A={xlx=2k-1,k屬於N})
let 7a^2+b^2=2^n


_________________
KH~~
アソ空ゎコスを世界ザ
辿ベMゑ場所ゾ
一緒クシ信ェサゆネエ

 2006-01-06 21:58個人資料傳送 Email 給 linian拜訪網站
訪客








 Re: 又是難題

打錯哩 !

是{...x=2k-1...}

 2006-01-06 22:19
linian
Home away from home



註冊日: 2005-11-07
發表數: 292


 Re: 又是難題

thank


_________________
KH~~
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 2006-01-06 22:20個人資料傳送 Email 給 linian拜訪網站
訪客








 Re: 又是難題

是2k-1沒錯啦
這ㄍ題目好像看過ㄝ
但是就是不會證明ㄚ

呆呆

 2006-01-06 22:41
linian
Home away from home



註冊日: 2005-11-07
發表數: 292


 Re: 又是難題

請大家幫忙一下!謝謝


_________________
KH~~
アソ空ゎコスを世界ザ
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一緒クシ信ェサゆネエ

 2006-01-07 20:36個人資料傳送 Email 給 linian拜訪網站
訪客








 Re: 徵求高手幫忙一下

這誰問ㄉ

太男ㄌ吧

請問在哪一本書找ㄉ到呢

 2006-01-21 22:23
訪客








 Re: 徵求高手幫忙一下

在奇摩知識 看到的
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1306012703187

希望 對你有幫助!!

 2006-02-03 12:33
訪客








 Re: 徵求高手幫忙一下

引文:

寫道:
在奇摩知識 看到的
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1306012703187

希望 對你有幫助!!



但是要是奇數解啊

如果是整數解就太好證ㄌ

 2006-02-04 12:51
linian
Home away from home



註冊日: 2005-11-07
發表數: 292


 Re: 徵求高手幫忙一下

轉貼
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1306012703187

因為 n≧3 所以 取 n = m+3
取 a = b = 2^k
那麼 (7a^2+b^2) = 8*(2^2k) = 2^(m+3)
即 (2^2k) = (2^m) 那麼當 m是偶數時取 k = m/2
因此 a = b = 2^(m/2) 就是解
因此 7a^2+b^2=2^n 對所有大於3的奇數 n 都有無聊解 a = b = 2^[(n-3)/2] !!!!

再來 考慮 n 是偶數情況
令 n = 2( 2+ u) ,u是非負的整數
因此 2^n = 4^(2+u) 一定是完全平方數
又 7a^2+b^2=2^n 所以
b^2 = 4^(2+u) - 7(a^2)
b^2= 16*[(4^u) - (a^2)] + (3a^2)
那取 a = 2^u 則 a^2 = 4^u
即 b = 3*(2^u)
那麼 我們得到 無聊解 a = (2^u) 與 b = 3*(2^u)
很容易證明 7(a^2) + (b^2) = 16*[2^2u] = (4^2)*(4^u)=4^(2+u)=2^n
因此 7a^2+b^2=2^n 對所有大於3的偶數 n 都有無聊解 a = (2^u) 與 b = 3*(2^u)

故 7a^2+b^2=2^n 對所有大於 3 的 n 都有 正整數解 (a,b)
證明完畢##


_________________
KH~~
アソ空ゎコスを世界ザ
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一緒クシ信ェサゆネエ

 2006-02-04 13:54個人資料傳送 Email 給 linian拜訪網站
訪客








 Re: 徵求高手幫忙一下

引文:

linian 寫道:
轉貼
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1306012703187

因為 n≧3 所以 取 n = m+3
取 a = b = 2^k
那麼 (7a^2+b^2) = 8*(2^2k) = 2^(m+3)
即 (2^2k) = (2^m) 那麼當 m是偶數時取 k = m/2
因此 a = b = 2^(m/2) 就是解
因此 7a^2+b^2=2^n 對所有大於3的奇數 n 都有無聊解 a = b = 2^[(n-3)/2] !!!!

再來 考慮 n 是偶數情況
令 n = 2( 2+ u) ,u是非負的整數
因此 2^n = 4^(2+u) 一定是完全平方數
又 7a^2+b^2=2^n 所以
b^2 = 4^(2+u) - 7(a^2)
b^2= 16*[(4^u) - (a^2)] + (3a^2)
那取 a = 2^u 則 a^2 = 4^u
即 b = 3*(2^u)
那麼 我們得到 無聊解 a = (2^u) 與 b = 3*(2^u)
很容易證明 7(a^2) + (b^2) = 16*[2^2u] = (4^2)*(4^u)=4^(2+u)=2^n
因此 7a^2+b^2=2^n 對所有大於3的偶數 n 都有無聊解 a = (2^u) 與 b = 3*(2^u)

故 7a^2+b^2=2^n 對所有大於 3 的 n 都有 正整數解 (a,b)
證明完畢##




但是: a = b = 2^[(n-3)/2] 和 a = (2^u) 與 b = 3*(2^u)
皆非奇數ㄌ

 2006-02-04 14:14
訪客








 Re: 徵求高手幫忙一下

對ㄚ
兩ㄍ解都是偶素ㄋㄟ
如果是整數解
of course
只要是人
幾乎都會證

 2006-02-04 14:17
aa963854116
Home away from home



註冊日: 2006-01-06
發表數: 392
從未發現之89號星座

 幫忙一下

這題是我問ㄉ(發表者之同學)

做到n=35都是唯一解(注意: 是奇數解)

有沒有人會證

 2006-02-04 15:17個人資料
thing
Quite a regular



註冊日: 2005-10-13
發表數: 42


 Re: 幫忙一下

這是尤拉問題
高教裡有解答
pf:n=3,取a=1,b=1顯然成立
設n=k成立
2^k=7x^2+y^2
n=k+1
2^k+1=2*2^k=2(7x^2+y^2)=7(px+qy)^2+(rx+sy)^2
則7p^2+r^2=14
7q^2+s^2=2
14pq+2rs=0
我們希望取X=px+qy
Y=rx+sy
都是奇數
使2^k+1=7X^2+Y^2
經過一番計算若取
X=(x+y)/2 Y=(7x-y)/2 ---1
or
X*=(x-y)/2 Y*=(7x+y)/2---2
則2^k+1=7X^2+Y^2成立
下面證明存在奇數X,Y
顯然 這兩組都是整數解
X+Y=4x,X*+Y*=4x
X,Y X*,Y*
同奇偶
又X+X*=x為奇
X,X*一奇一偶
故在(X,Y) (X*,Y*) 中
必有一組為奇數
n=k+1時亦成立
故命題成立

 2006-02-04 23:35個人資料
aa963854116
Home away from home



註冊日: 2006-01-06
發表數: 392
從未發現之89號星座

 Re: 幫忙一下

引文:

thing 寫道:
這是尤拉問題
高教裡有解答
pf:n=3,取a=1,b=1顯然成立
設n=k成立
2^k=7x^2+y^2
n=k+1
2^k+1=2*2^k=2(7x^2+y^2)=7(px+qy)^2+(rx+sy)^2
則7p^2+r^2=14
7q^2+s^2=2
14pq+2rs=0
我們希望取X=px+qy
Y=rx+sy
都是奇數
使2^k+1=7X^2+Y^2
經過一番計算若取
X=(x+y)/2 Y=(7x-y)/2 ---1
or
X*=(x-y)/2 Y*=(7x+y)/2---2
則2^k+1=7X^2+Y^2成立
下面證明存在奇數X,Y
顯然 這兩組都是整數解
X+Y=4x,X*+Y*=4x
X,Y X*,Y*
同奇偶
又X+X*=x為奇
X,X*一奇一偶
故在(X,Y) (X*,Y*) 中
必有一組為奇數
n=k+1時亦成立
故命題成立



謝謝thingㄉ回答, 我看懂ㄌ
aa963854116

 2006-02-05 13:19個人資料


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