n屬於N
2^(n+2)+3^(2n+1)為一質數p的倍數
(1)求此質數p(2)請以數學歸納法討論之
我以n=1,2代入
2^3+3^3=8+27=35=5*7
2^4+3^5=16+243=259=37*7
兩個式子的結果中都有7這個質數,所以第一題是7

請問第二題應怎寫?

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2^(n+2)+3^(2n+1)
=2^n*2^2+3^2n*3^1
=4*(2^n)+3*(3^2n)

n=0
(4*1)/7的餘數為4
(3*1)/7的餘數為-4

n=1
(4*2)/7的餘數為(4*1)/7的餘數*2/7=4*2/7餘數=1
(3*9)/7=[(3*7)+(3*2)]/7，7|(3*7)， 則只需注意(3*2)/7的餘數，
(3*2)/7的餘數為 (3*1)/7的餘數*2/7=-4*2/7餘數=-1

接下來的操作同上
4*(2^n)的餘數為上一項的餘數在乘2
3*(3^2n)的餘數為上一項的餘數在乘9
但是乘9就=上一項餘數x7+x2
而上一項餘數x7必為7的倍數
則3*(3^2n)的餘數為上一項的餘數在乘2

n=0時4*(2^n)的餘數和3*(3^2n)為1和-1
則無論n任何整數，[1*(2^x)]+[(-1)*(2^x)]必為0
餘數為0則此數必為7的倍數

欲證：2^(n+2)+3^(2n+1)為7的倍數
1.n=1代入原式=35為7的倍數
2.假設n=k時，2^(k+2)+3^(2k+1)為7的倍數
設此數為7m(m為正整數)
3.當n=k+1時
原式=2^(k+3)+3^(2k+3)=2*2^(k+2)+9*3^(2k+1)
=2[2^(k+2)+3^(2k+1)]+7*3^(2k+1)
=2*7m+7*3^(2k+1)
=7[2m+3^(2k+1)]為7的倍數
故以數學歸納法知原命題成立