| 發布者 | 內容列 |
joshnash
Just popping in
註冊日: 2006-03-06
發表數: 16
|  數學問題.兩題證明題 |  | 小明知道,對於任意正整數n,
有1+2+3...+n=n(n+1)/2
他於是猜測1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(n+2)/3
但是,小華一看這個式子就對小明說:
"不對,
你猜的公式中,等號右式中的分子的第三個因是錯了"
請問:
(1)依據小華的說法,如何修正小明所猜測的公式
(必須給出理由)
(2)你能否猜測1^3+2^3+3^3+...n^3的求和公式
請證明 |
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| 2006-03-19 18:09 |   |
ej0cl6
Home away from home
註冊日: 2005-03-03
發表數: 281
〝 � 〞 的 故 鄉
| | Re: 數學問題.兩題證明題 | | 1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+4^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
_________________
http://blog.pixnet.net/ej0cl6
↑這是最近成立的數學BLOG
裡面有些幾何的東西
大家可以參觀看看呢
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| 2006-03-19 21:24 | |
joshnash
Just popping in
註冊日: 2006-03-06
發表數: 16
| | Re: 數學問題.兩題證明題 | | 您能否留下計算過程@"@
好讓小弟了解
謝謝您! |
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| 2006-03-20 19:23 | |
ej0cl6
Home away from home
註冊日: 2005-03-03
發表數: 281
〝 � 〞 的 故 鄉
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| 2006-03-20 20:17 | |
ej0cl6
Home away from home
註冊日: 2005-03-03
發表數: 281
〝 � 〞 的 故 鄉
| | Re: 數學問題.兩題證明題 | | n^3則可以這樣看
１ ２ ３ ４ ５ ......
１ １ ２ ３ ４ ５
２ ２ ４ ６ ８ １０
３ ３ ６ ９ １２ １５
４ ４ ８ １２ １６ ２０
５ ５ １０ １５ ２０ ２５
......
很容易可以看出
1^3+2^3+3^3+4^3+..+n^3
就是圖中黑色數字的總和
也就是
(1+2+3+4+...+n)^2=[n(n+1)/2]^2
_________________
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| 2006-03-20 20:24 | |
joshnash
Just popping in
註冊日: 2006-03-06
發表數: 16
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| 2006-03-20 20:30 | |
frog
Just can't stay away
註冊日: 2006-02-28
發表數: 114
| | Re: 數學問題.兩題證明題 | | 真的很佩服有人可以用圖解法與觀察法來說明
但在正式考試中,以圖解法與觀察法來證明,往往是會被扣分甚至全錯的
以下以"數學歸納法"來證明,尚請不吝指教
1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
(1)當n=1時,原式成立
(2)令n=m時原式成立
即1^2+2^2+3^2+4^2+...+m^2=m(m+1)(2m+1)/6
則當n=m+1時,代入原式左側:
1^2+2^2+3^2+4^2+...+m^2+(m+1)^2
=m(m+1)(2m+1)/6+(m+1)^2
=(m(m+1)(2m+1)+6(m+1)^2)/6
=(m+1)(m(2m+1)+6(m+1))/6
=(m+1)(2m^2+7m+6)/6
=(m+1)(m+2)(2m+3)/6
=(m+1)((m+1)+1)(2(m+1)+1)/6
由數學歸納法,本題得證
同理立方和也可用數學歸納法證明
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| 2006-03-20 22:33 | |
s87009812
Just can't stay away
註冊日: 2004-07-25
發表數: 132
台北市立景美國中
| | Re: 數學問題.兩題證明題 | | 這題尚可利用"差分法"
Σn^2
公式 n^3-(n-1)^3
n=1 1^3-0^3=3*1^2-3*1+1
n=2 2^3-1^3=3*2^2-3*2+1
n=3 3^3-2^3=3*3^2-3*3+1
.... .......................................
n=n n^3-(n-1)^3=3n^2-3*n+1
相加得n^3-0^3=3=3Σn^2-3Σn^2-3Σn+1
3Σn^2=n^3+3Σn-n=n(n^2-1)+3n(n+1)/2=n(n+1)(2n+1)/2
另外當Σn^3的時候,就可以利用
n^4-(n-1)^4,利用上面類似的解法,整理歸納出公式: n^2(n+1)^2/4
_________________
想要得到什麼,就必須付出相同的代價...這就是煉金術中所說的"等價交換原則".
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| 2006-03-20 22:48 |  |
joshnash
Just popping in
註冊日: 2006-03-06
發表數: 16
| | Re: 數學問題.兩題證明題 | | 引文:
frog 寫道:
真的很佩服有人可以用圖解法與觀察法來說明
但在正式考試中,以圖解法與觀察法來證明,往往是會被扣分甚至全錯的
以下以"數學歸納法"來證明,尚請不吝指教
1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
(1)當n=1時,原式成立
(2)令n=m時原式成立
即1^2+2^2+3^2+4^2+...+m^2=m(m+1)(2m+1)/6
則當n=m+1時,代入原式左側:
1^2+2^2+3^2+4^2+...+m^2+(m+1)^2
=m(m+1)(2m+1)/6+(m+1)^2
=(m(m+1)(2m+1)+6(m+1)^2)/6
=(m+1)(m(2m+1)+6(m+1))/6
=(m+1)(2m^2+7m+6)/6
=(m+1)(m+2)(2m+3)/6
=(m+1)((m+1)+1)(2(m+1)+1)/6
由數學歸納法,本題得證
同理立方和也可用數學歸納法證明
針對frog先生的歸納法
我有一點小小的疑問:
你還不知道
1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
等式的右邊的式子是什麼時
要怎麼用歸納法證明?
您這樣不是只有證明了前一位先生的證明無誤嗎?
謝謝 |
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| 2006-03-23 19:49 | |
frog
Just can't stay away
註冊日: 2006-02-28
發表數: 114
| | Re: 數學問題.兩題證明題 | | 要使用數學歸納法,其前提是要有一個完整的方程式或等式 ,所以右邊的式子n(n+1)(2n+1)/6是不可或缺的
此題因為比較簡單,所以可以用圖解法或觀察法歸納出結果,但當你上了高中後,你就會發現很多證明是無法以觀察法得到的,因此你還是要熟悉數學歸納法
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| 2006-03-23 20:32 | |
訪客
| | Re: 數學問題.兩題證明題 | | 真的很欣賞ej0cl6的圖解法
只能說實在是太厲害了
創造力滿點耶 |
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| 2006-03-24 02:37 | |
j7631103
Home away from home
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發表數: 490
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| 2006-03-24 19:33 | |
bubupin
Home away from home
註冊日: 2007-03-13
發表數: 353
| | Re: 數學問題.兩題證明題 | | 求f(n)=1^k+2^k+3^k+4^k+.....n^k時大家比較熟悉的是k=1,2,3時的公式解，此時也有一些幾何圖形幫助我們了解公式如何求得，但我與神豬一起玩這個課題時，得到了一些心得，在此提出來分享也尋求指正．
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設f(x)=1^k+2^k+3^k+4^k+.....x^k，因f(0)=0，多項式常數項為0，故x|f(x)
當x=n，n|f(n)；當x=n+1，n+1|f(n+1)，n+1|f(n)+(n+1)^k，n+1|f(n)；故n(n+1)|f(n)
當n為偶數，x=2n+1時，2n+1|f(2n+1)；f(2n+1) (mod 2n+1)=2f(n) (mod 2n+1)=0，
故2n+1|f(n)，此時n(n+1)(2n+1)|f(n)
************************************************************
由上可知，我們可設A=n(n+1)，將多項式f(n,k)=1^k+2^k+.....+n^k改設為A的函數
例如：令f(n,7)=A^2(A^2+aA+b)/8，由f(1,7)=1和f(2,7)=129求得a=-4/3，b=2/3；
故f(n,7)=A^2(3A^2-4A+2)/24
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令A=n(n+1)，B=n(n+1)(2n+1)/2，設f(n,k)=1^k+2^k+......+n^k，由上述方法可得
f(n,1)=A/2；f(n,2)=B/3；f(n,3)=A^2/4；f(n,4)= B(3A-1)/15=B(A-1/3)/5
f(n,5)=A^2*(2A-1)/12=A^2*(A-1/2)/6；f(n,6)=B(3A^2-3A+1)/21=B(A^2-A+1/3)/7
f(n,7)=A^2(3A^2-4A+2)/24=A^2(A^2-4A/3+2/3)/8
f(n,8)=B(5A^3-10A^2+9A-3)/45=B(A^3-2A^2+9A/5-3/5)/9
f(n,9)=A^2(A-1)(2A^2-3A+3)/20= A^2(A-1)(A^2-3A/2+3/2)/10
************************************************************
但次數高，數字變大時還是感到有點麻煩，此時利用積分原理來做就比較單純多了．
將連續級數和視為多項式之積分，設f(n,k)=n^k，則積分為[1/(k+1)]*n^(k+1)+........
f(n,k)=[n^(k+1)+a*n^k+b*n^(k-1)+.......]/(k+1)
利用次數為k時所得f(n,k)來求得次數k+1時之f(n,k+1)
1.因必含n(n+1)因子，故常數項為零
2.將f(n)乘以k後所得kf(n)領導係數為1，經積分後新增一次項，設係數為a，
形成1/(k+1)*n^(k+1)+..........+a*n
如此每次僅用f(1)=1，令係數和為1即可解得a，並簡化求f(n)的程序
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| 2007-10-23 22:41 | |
playdd1
Just popping in
註冊日: 2008-05-17
發表數: 1
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| 2008-05-17 11:56 | |
+ 
= 
圖解法真是感謝 
