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訪客








 求正整數解


x,y,z是正整數,(x,y,z)=1,試求7x^2+13y^2=5z^2的正整數解 ?

 2006-03-19 22:01
s87009812
Just can't stay away



註冊日: 2004-07-25
發表數: 132
台北市立景美國中

 Re: 求正整數解

x=y y=2x

7x^2+13x^2=20x^2=5(2x)^2.

所以正整數符合x=y y=2x的都可以.

例如取x=4. y=4 z=8
7*4^2+13*4^2=5*8^2=320

但是三數又要互質,所以只能取
x=1 y=1 z=2這組數對. 否則都會有x這個公因數.


_________________
想要得到什麼,就必須付出相同的代價...這就是煉金術中所說的"等價交換原則".

 2006-03-19 22:36個人資料傳送 Email 給 s87009812
訪客








 Re: 求正整數解

不知道有沒有好一點的方法
目前只找到(x,y,z)=(1,1,2)

 2006-03-19 22:42
joshnash
Just popping in



註冊日: 2006-03-06
發表數: 16


 Re: 求正整數解

但是我在無意中還發現
x=4,y=1,z=5這組耶...
不知識怎麼樣@@"

 2006-03-20 20:54個人資料拜訪網站
訪客








 Re: 求正整數解

答案應該就只有
(1,1,2) (4,1,5)兩組

 2006-05-19 22:36
aa963854116
Home away from home



註冊日: 2006-01-06
發表數: 392
從未發現之89號星座

 Re: 求正整數解

目前我也只找到這兩組
不知道有沒有完整的證明
可證得無其他解

 2006-05-19 22:59個人資料
linian
Home away from home



註冊日: 2005-11-07
發表數: 292


 Re: 求正整數解

引文:

s87009812 寫道:
x=y y=2x

7x^2+13x^2=20x^2=5(2x)^2.

所以正整數符合x=y y=2x的都可以.

例如取x=4. y=4 z=8
7*4^2+13*4^2=5*8^2=320

但是三數又要互質,所以只能取
x=1 y=1 z=2這組數對. 否則都會有x這個公因數.


x=y y=2x寫錯了吧,是z=2x


_________________
KH~~
アソ空ゎコスを世界ザ
辿ベMゑ場所ゾ
一緒クシ信ェサゆネエ

 2006-05-19 23:03個人資料傳送 Email 給 linian拜訪網站
訪客








 Re: 求正整數解

証明答案只有特定兩組
設z=x+y+c
其中x和y為正整數,c為整數
所以
7x^2+13y^2=5(x+y+c)^2
整理後得
2x^2-10(y+c)x+(8y^2-5c^2-10yc)=0
此x二次方程是有兩相異整數解的,所以
25(y+c)^2-2(8y^2-5c^2-10yc)必須是完全平方
整理上式
9y^2+70cy+35c^2必須是完全平方,所以
(70c)^2-4*9*35c^2=0
3640c^2=0
所以 c=0
代回原式可得
7x^2+13y^2=5(x+y)^2
(x-y)(x-4y)=0
x=y,x=4y
故得答案只有
(1,1,2)(4,1,5)兩組

 2006-05-20 12:40
linian
Home away from home



註冊日: 2005-11-07
發表數: 292


 Re: 求正整數解

了解了


_________________
KH~~
アソ空ゎコスを世界ザ
辿ベMゑ場所ゾ
一緒クシ信ェサゆネエ

 2006-05-20 13:38個人資料傳送 Email 給 linian拜訪網站
訪客








 Re: 求正整數解

照理說z=ax+by+c
為什麼這邊可假設z=x+y+c呢?

引文:

寫道:
証明答案只有特定兩組
設z=x+y+c


 2006-05-20 22:08
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