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   /  高中
      /  2006年美國高中生數學競賽最難題目
限會員
發布者內容列
zenixls2
Not too shy to talk



註冊日: 2006-06-10
發表數: 21
南一中

 2006年美國高中生數學競賽最難題目

2006年美國高中生數學競賽最難題目(1695位參賽者,只有3位參賽者答對)

有A,B,C,D,E 共五台電腦,想利用丟銅板的方式決定任兩台電腦間是否要連線,
如果出現正面,則連線,如果出現反面,則否。
每個傳到其中一台電腦的訊息將會同時傳到其他和這台有連線的電腦。
試求每一台電腦都能從其他所有電腦收到訊息的機率。
請把想法和過程寫下


_________________
zenixls2-------------------------------------

 2006-10-14 22:42個人資料拜訪網站
94006
Home away from home



註冊日: 2005-09-20
發表數: 161
武陵高中

 Re: 2006年美國高中生數學競賽最難題目

請問你有答案嗎?


_________________
欲速則不達

 2006-10-15 13:26個人資料
zenixls2
Not too shy to talk



註冊日: 2006-06-10
發表數: 21
南一中

 Re: 2006年美國高中生數學競賽最難題目

)

引文:

94006 寫道:
請問你有答案嗎?


有,不過我要等討論到一定程度才給答案
(提示:約0.7左右)


_________________
zenixls2-------------------------------------

 2006-10-15 16:53個人資料拜訪網站
Jason+Weber
Home away from home



註冊日: 2004-03-27
發表數: 194
無間地獄

 Re: 2006年美國高中生數學競賽最難題目

我們稱可以達到題目要求的情況為"完全連線",反之稱為"不完全連線"。

5個電腦以5個點ABCDE表示
5個電腦的連線情形可以用5邊形+對角線表示
∴可以有10條連線
∵每條線有連線未連線之分
   10
∴有2 =1024種可能的情況
每個情況出現機率相同
把所有的情況分為有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10個連線的圖形

∵任一部電腦要得到其他4部電腦的資料,至少必須有4條連線
∴有0、1、2、3連線的圖形是"不完全連線"。

∵如果光4台電腦連線,最多是6條連線
也就是說 有7、8、9、10條連線的情形
必定可以得到第5部電腦的資料。這些情況都算"完全連線"。

剩下來的就是計算圖形中有4、5、6條連線中"不完全連線"的情形

(1)6條連線的情況中,"不完全連線"的情形,總共有5種,圖形例子是4邊形ABCD+對角線2條。

也就是說,只在5邊形的圖形中數數看頂點在ABCDE的的4邊形個數即可。

(2)5條連線的情況中,"不完全連線"的情形,總共有30種,圖形例子是"4邊形+對角線"少一個邊。
所以有5╳C(6,1)=30種

(3)4條連線的情況中,"不完全連線"的情形比較複雜,有兩種狀況:
第1種例子是"4邊形+對角線"少2個邊。

共有5╳C(6,2)=75
第2種例子是三角形ABC+DE。也就是說,只在5邊形的圖形中數數看頂點在ABCDE的的3角形個數即可。

故共有C(5,3)=10種

所以"不完全連線"的狀況總共有
01  2   3   4  5 6
1+10+C(10,2)+C(10,3)+(75+10)+30+5 =296
=1+10+45+120+85+30+5
故可以"完全連線"的機率是
(1024-296)/1024=91/128


_________________
我認為數學之所以迷人,在於你總是能找到美妙的解法(By Mathplayer 2007/05/11)

三角習題看不破 排列組合總難解 人生幾何可有數 手拎尺規任我學

A Mathmaniac/Mathfanatic/Mathnut

 2006-10-23 13:52個人資料拜訪網站
bubupin
Home away from home



註冊日: 2007-03-13
發表數: 353


 Re: 2006年美國高中生數學競賽最難題目

 假設任兩台完全連線,則需連接10條線,欲符合條件至少要四條線
1.10條線全部接上情形只有一種
1.若任意拆掉任一條線,二條線,三條線,皆可符合條件
共10+10*9/2+10*9*8/(3*2*1)=175
2.若任意拆掉四條線,需扣除其中四條線皆連至同一電腦的情形
10*9*8*7/(4*3*2*1)-5=205
3.若任意拆掉五條線,需扣除其中四條線皆連至同一電腦的情形
10*9*8*7*6/(5*4*3*2*1)-5*6=222
4.若任意拆掉六條線,需扣除(1)其中四條線皆連至同一電腦的情形(2)任選相鄰兩台電腦維持連線,但各拆掉另外三條線
 10*9*8*7/(4*3*2*1)-5*(6*5/2)-(5*4/2)=125

因此共有1+175+205+222+125=728,每一種情形依丟銅板的方式決定,機率為1/2^10

故欲接通五台電腦的機率為728/1024

 2007-09-05 11:47個人資料


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