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      /  環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第1題
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發布者內容列
ej0cl6
Home away from home



註冊日: 2005-03-03
發表數: 281
〝 〞 的 故 鄉

 環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第1題

任意正整數x,y. 其中x≦y,將x寫在黑板之左側,將y寫在黑板之右側.
小王對黑板上的兩個數依序進行以下之操作:
(1)將x^2寫在筆記本上;
(2)將黑板左側的數替換成x與y-x中較小(或相等)者,將黑板右側的數替換成x與y-x中較大(或相等)者.
小王繼續上述操作,直到黑板上出現一個數等於0為止. 請問最後小王筆記本上所寫下的數的和是多少? (四分)


_________________

http://blog.pixnet.net/ej0cl6
↑這是最近成立的數學BLOG
 裡面有些幾何的東西
 大家可以參觀看看呢

 2006-10-22 15:06個人資料拜訪網站
arsene996655
Not too shy to talk



註冊日: 2005-10-13
發表數: 27


 Re: 環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第1題

答案是xy. 我分五個證明
(一).當x=y時
(二).當x+k=y且x>k且k整除x
(三).當x+k=y且x>k且k不整除x
(四).當x+k=y且k>x且x整除k
(五).當x+k=y且k>x且x不整除k
第一個得到xy 其他都得到(x+k)x也是xy得證

 2006-10-22 15:12個人資料傳送 Email 給 arsene996655拜訪網站yim
TIM
Just popping in



註冊日: 2003-03-19
發表數: 9


 Re: 環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第1題

我也差不多
就是利用數學歸納法
從結果倒推至x、y

 2006-10-22 15:55個人資料
linian
Home away from home



註冊日: 2005-11-07
發表數: 292


 Re: 環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第1題

這提的答案很好找出來,但是過程比較麻煩
不容易寫


_________________
KH~~
アソ空ゎコスを世界ザ
辿ベMゑ場所ゾ
一緒クシ信ェサゆネエ

 2006-10-22 19:15個人資料傳送 Email 給 linian拜訪網站
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第1題

引文:

linian 寫道:
這提的答案很好找出來,但是過程比較麻煩
不容易寫[/quote}
所以答案呢
引文:

引文:

 2006-10-22 21:14
arsene996655
Not too shy to talk



註冊日: 2005-10-13
發表數: 27


 Re: 環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第1題

樓上的
你說什麼阿?
我聽不懂

 2006-10-22 21:51個人資料傳送 Email 給 arsene996655拜訪網站yim
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第1題

我有想到兩種寫的方法拉~~

第一個是用數歸(x+y=2時成立
→對於所有x+y小於等於k成立,討論x+y=k+1)

第二個是用算長方形的面積方法
給出一個新的計算方法,恰好與小王(誰呀?)寫在筆記本上的數字有所關聯。

 2006-10-22 22:50
linian
Home away from home



註冊日: 2005-11-07
發表數: 292


 Re: 環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第1題

引文:

arsene996655 寫道:
樓上的
你說什麼阿?
我聽不懂


指說答案很好找
證明方法很難寫


_________________
KH~~
アソ空ゎコスを世界ザ
辿ベMゑ場所ゾ
一緒クシ信ェサゆネエ

 2006-10-22 22:52個人資料傳送 Email 給 linian拜訪網站
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 Re: 環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第1題

目前有三種解法
1.針對操作次數做數學歸納法。
2.將x, y輾轉相除。
3.(根據新竹實驗中學江盛浩的想法)將題目視為每次從邊長為x, y的矩形中切除一個邊長為矩形較小邊的正方形。


_________________
孫文先 敬上

 2006-10-23 21:06個人資料傳送 Email 給 孫文先
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第1題

輾轉相除可行嗎?
我在考試時也是以輾轉相除來做
算出答案後,靠輾轉相除似乎也沒辦法證明?

可以說明一下利用輾轉相除法的話應該如何證明嗎?
謝謝孫老師!

 2006-10-24 18:59


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