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      /  環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第3題
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ej0cl6
Home away from home



註冊日: 2005-03-03
發表數: 281
〝 〞 的 故 鄉

 環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第3題

(a)在黑板上任意寫下2007個大於1的正整數.試證:您必定可以擦掉黑板上的某一個數,使得剩下的2006個數的乘積可表示為a^2-b^2,其中a,b為正整數. (二分)

(b)在黑板上有2007個大於1的正整數,其中一個數為2006,且已知這2007個數中恰好只能找到一個數,使得擦去這個數後剩下的2006個數的乘積可表示為a^2-b^2,其中a,b為正整數. 試證:這個唯一的數是2006. (二分)


_________________

http://blog.pixnet.net/ej0cl6
↑這是最近成立的數學BLOG
 裡面有些幾何的東西
 大家可以參觀看看呢

 2006-10-22 15:08個人資料拜訪網站
j7631103
Home away from home



註冊日: 2005-03-06
發表數: 490


 Re: 環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第3題

引文:

ej0cl6 寫道:
(a)在黑板上任意寫下2007個大於1的正整數.試證:您必定可以擦掉黑板上的某一個數,使得剩下的2006個數的乘積可表示為a^2-b^2,其中a,b為正整數. (二分)

(b)在黑板上有2007個大於1的正整數,其中一個數為2006,且已知這2007個數中恰好只能找到一個數,使得擦去這個數後剩下的2006個數的乘積可表示為a^2-b^2,其中a,b為正整數. 試證:這個唯一的數是2006. (二分)



這題我有寫但不確定

 2006-10-22 16:01個人資料傳送 Email 給 j7631103
s87009812
Just can't stay away



註冊日: 2004-07-25
發表數: 132
台北市立景美國中

 Re: 環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第3題

這題其實只要利用a^2-b^2=(a+b)(a-b).
其中設a+b=x a-b=y x和y必須奇偶性相同即可.
如果有兩個以上的偶數.我們就能將擦去某數餘下的2006數(除那兩個偶數外)的積分成二組.分別去乘其他兩個偶數就行了.
若只有一偶數,就必須擦掉它.否則擦去一奇數所餘下的2006數無論怎麼分都是偶乘奇的情況.(b部份的2006就是如此,所以當然要擦2006啦)


_________________
想要得到什麼,就必須付出相同的代價...這就是煉金術中所說的"等價交換原則".

 2006-10-22 16:56個人資料傳送 Email 給 s87009812
linian
Home away from home



註冊日: 2005-11-07
發表數: 292


 Re: 環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第3題

樓上的這樣寫不行喔
因為如果偶數屬於4K(K屬於R)
那擦去奇數就成立了
(若總積為P)
則令a=(P/4)+1
b=(P/4)-1
則a、b皆為正整數
必須將唯一的偶數視為2*(2M-1){M屬於R}才可


_________________
KH~~
アソ空ゎコスを世界ザ
辿ベMゑ場所ゾ
一緒クシ信ェサゆネエ

 2006-10-22 19:20個人資料傳送 Email 給 linian拜訪網站
linian
Home away from home



註冊日: 2005-11-07
發表數: 292


 Re: 環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第3題

引文:

s87009812 寫道:
若只有一偶數,就必須擦掉它.否則擦去一奇數所餘下的2006數無論怎麼分都是偶乘奇的情況


請問出現偶乘奇的情況會如何??


_________________
KH~~
アソ空ゎコスを世界ザ
辿ベMゑ場所ゾ
一緒クシ信ェサゆネエ

 2006-10-22 19:22個人資料傳送 Email 給 linian拜訪網站
s87009812
Just can't stay away



註冊日: 2004-07-25
發表數: 132
台北市立景美國中

 Re: 環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第3題

舉例來說吧...
假設有5個數好了....
3 8 9 7 4 擦去8和4外的任何數,設擦3.
剩下相乘為8*9*7*4=72*28=(50+22)(50-22)=50^2-22^2
若為 3 5 7 9 2 則必擦2 3*5*7*9=35*27=(31+4)(31-4)=31^2-4^2
請問您是哪裡有問題?


_________________
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 2006-10-22 21:54個人資料傳送 Email 給 s87009812
s87009812
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註冊日: 2004-07-25
發表數: 132
台北市立景美國中

 Re: 環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第3題

引文:

linian 寫道:
引文:

s87009812 寫道:
若只有一偶數,就必須擦掉它.否則擦去一奇數所餘下的2006數無論怎麼分都是偶乘奇的情況


請問出現偶乘奇的情況會如何??



喔喔...我懂了.
不過這樣子會被扣分嗎?
因為我還是有說明可以擦某個數使題目成立.
且我也有寫如果不擦2006,就會形成偶乘奇的情況.
只是可能不嚴謹就是了...


_________________
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 2006-10-22 21:59個人資料傳送 Email 給 s87009812
j7631103
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註冊日: 2005-03-06
發表數: 490


 Re: 環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第3題

引文:

ej0cl6 寫道:
(a)在黑板上任意寫下2007個大於1的正整數.試證:您必定可以擦掉黑板上的某一個數,使得剩下的2006個數的乘積可表示為a^2-b^2,其中a,b為正整數. (二分)

(b)在黑板上有2007個大於1的正整數,其中一個數為2006,且已知這2007個數中恰好只能找到一個數,使得擦去這個數後剩下的2006個數的乘積可表示為a^2-b^2,其中a,b為正整數. 試證:這個唯一的數是2006. (二分)



我的做法是,先令剩下2006個數之積為2x+1(x為正整數)此時令a-b=1,a=b+1代入得a^2-b^2=2b+1=2x+1,得x=b,故可表示成(x+1)^2-x^2即為a^2-b^2,偶數則是令a-b=2,a=b+2,代入得4b+4=4(b+1),故必有4的倍數,
令2006個數之積為4k(k為正整數),則4k=4(b+1),k=b+1,在代入就證明完畢,我們在下列那項即知一定要為4的倍數,但2006不為4的倍數,故(b)大概就是這樣

 2006-10-22 22:15個人資料傳送 Email 給 j7631103
arsene996655
Not too shy to talk



註冊日: 2005-10-13
發表數: 27


 Re: 環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第3題

對了
這次都沒看到孫老師來解答

 2006-10-22 22:26個人資料傳送 Email 給 arsene996655拜訪網站yim
s87009812
Just can't stay away



註冊日: 2004-07-25
發表數: 132
台北市立景美國中

 Re: 環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第3題

太忙了吧...況且這才考完第一天而已.
馬上就要孫老師來,是有點說不過去.


_________________
想要得到什麼,就必須付出相同的代價...這就是煉金術中所說的"等價交換原則".

 2006-10-22 22:29個人資料傳送 Email 給 s87009812
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