世界雖然改變了，九章對數學的堅持仍不變──孫文先的心路歷程(五)參加數學競賽問題

在考場有家長問我二個問題：:
(1) 為什麼九章的考試題目都這麼難？
(2) 為什麼九章的考試參加人數都這麼少？

(1)九章所辦的考試型態上只有二類，一類是選拔我國代表隊員出國參加國際性比賽，另一類就是類似IMO的環球城市數學競賽。第一類的考題不能說是難，只能說這是與國際接軌的試題。我們的目的是選出幾位數學能力最強的學生出國參賽，並不是檢定或診斷一般學生的學習成果。當教改使我們的學生數學能力日益低落，而它國的教育當局體認數學的重要性而想方設法努力提昇該國學童之數學能力，一降一升使得原處優越地位的台灣學童數學能力逐漸落後它國，這也是我國一般學生認為難的原因。至於環球城市數學競賽則是因為我國一般學校數學教學只著重數學運算、公式與求解，並不重視數學思維、數學證明、數學創造力的訓練。我們的學生根本不知如何證明、也不知如何書寫完整的證明。
我們所辦的比賽是國內所有競賽中最靈活有趣、最注重操作、最具數學教育意義的競賽。不僅我們對試題、試務態度最認真，並所提供的答案最詳盡，不僅只是簡答，我們更把思維推理步驟詳細列出，使學生考能從中學習別種想法與解法、記取錯誤的教訓。

(2)九章是非盈利公益團體，背後也沒有什麼盈利目的，因此我們不會運用各種行銷手段去謀利。目前國內各機構所辦理的數學競賽背後都特殊的企圖，充斥著不良的現象。例如：
(A)補習班假借辦理數學競賽進行招生宣傳。
(B)利益誘惑學校或安親班人員拉攏學生參加。
(C)用金錢與媒體交換置入性行銷及宣傳報導。
這些惡劣的行徑不僅敗壞社會風氣更使教壇蒙塵，扭曲了數學競賽的真正意義。許多家長不察，紛紛讓自己的小孩成為他們的宣傳工具。有許多學生也是樂此不疲，對於各種大大小小的競賽無役不與，為的是要贏過鄰座的同學或親友的小孩，這並不是正確學習數學的態度。試想，天天參加比武大會的人能把武功練好嗎？
家長們應認清參加數學競賽的目的，是為了提升學童的數學能力，對數學學習有所助益？還是花錢換取一張獎狀自我快慰一番？

當大多數人的想法與我們的理念越來越遠時，我們只能在此竭力吶喊！

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孫文先 敬上

對於國際小學數學競賽選拔我一直期望作以下的重大改革：

(1) 為與國際接軌，本基金會選拔參加國際小學數學競賽之我國代表隊員，將逐年增加全英文作答之隊伍(中文作答之隊伍將逐年減少)。
第一年答英文卷選手佔1/4，答中文卷選手佔3/4。
第二年答英文卷選手佔1/2，答中文卷選手佔1/2。
經兩年實驗後再研究可行方向。
(2) 為展現我國資優生多才多藝的面貌，本基金會選拔參加國際各項數學競賽之我國代表隊員，在決賽時將增加個人才藝表演，表演項目不拘，器材自備，佔分10分，成績併入總分評比。
(3) 為鼓勵女生學數學，本基金會辦理之各項選拔賽女生保障1/4名額。

相信如果我冒然施行必定遭遇很大的阻力，特別是萬一參賽成績不盡理想，一定會被碎屍萬段。不過，如果沒有我勇敢去嘗試，恐怕沒有人敢做。大陸早已經在初中數學課本中逐步滲入英文了，台灣數學教育仍深陷教改的泥淖中。

為了減少阻力，我要在最近幾年儘速提供英文版本的各種數學資料，希望能明年開始施行。事實上，九章網站已經提供中小學生足夠使用的英漢名詞辭典、香港民生書院初一教材供大家自由免費下載，我們所辦理的夏令營、冬令營講義也提供中英文對照資料。

我們的小朋友可塑性很強，由近年來IMSO的成果可驗證，只要有企圖心，我們的小朋友是世界一流的！

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孫文先 敬上

我剛從北京返台, 大陸數學奧林匹克委員會有關教授告知大陸有許多大型數學競賽被查禁, 並交付一份如下公文.
page 1
http://files.chiuchang.org.tw:8080/MyWeb/download/pmwc/ccmef001.jpg

page 2
http://files.chiuchang.org.tw:8080/MyWeb/download/pmwc/ccmef002.jpg

page 3
http://files.chiuchang.org.tw:8080/MyWeb/download/pmwc/ccmef003.jpg


另大陸有許多私人辦學機構(類似台灣的補習班)合辦IMC (他們用International Mathematic Contest 簡稱IMC, 故意與International Mathematic Competition 魚目混珠), 以下照片的一個小補習班就一堆人獲得獎牌.

http://files.chiuchang.org.tw:8080/MyWeb/download/pmwc/IMG_3226.JPG


現在越來越多人假借數學競賽名義斂財，有些競賽明明已經被政府查禁，他們仍舊無所畏懼，大張旗鼓在大陸、香港、臺灣等地舉辦。

在其網站上列有大陸香港許多著名數學家都是他們的顧問或委員，最可笑的是香港吳重振先生早已作古，他們仍將吳重振先生列名為命題委員會主任，難道是吳先生在陰間顯靈為其命題？

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孫文先 敬上

很多人對什麼是奧林匹克、奧林匹亞、奧數、數學競賽弄不清楚。

奧林匹亞 的英文是Olympiad，是名詞，意指世界運動會。

奧林匹克的英文是Olympic，是形容詞，也等義於Olympic Games, 是古希臘祭祀Zeus每四年一次的競賽會。

無論奧林匹克、奧林匹亞都是引申為競賽的意思。 數學奧林匹克、數學奧林匹亞就是數學競賽的意思。

在大陸當數學奧林匹克非常火熱之際，他們的奧林匹克委員會(其實是主管體育、橋牌與棋藝的單位)出面控告很多民辦教育機構(即臺灣的補習班，國外有些機構名為Institute, Clinic, Academy, System等很多都也是補習班)、出版社侵犯商標權，因為奧林匹克是該委員會之專用名稱，所以大陸的各機構就改以簡稱奧數規避被控告。

在臺灣只有教育部委託中央大學承辦高中數學奧林匹亞。

初中、小學只有本基金會選拔參賽的數學競賽為他國教育部主辦或參與的活動，其他大都是補習班、私立學校或盈利機構所辦理。

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孫文先 敬上

近來，一些背景為補習班的機構串聯大陸與東南亞幾個國際的私人補習機構辦理了許多以營利為目的的競賽，請仔細查明這些競賽的主辦單位即可了解。

新加坡主管資優教育的官員來函澄清關於臺灣報紙所提之IMC競賽非由新加坡教育部主辦，而是由一家私人培訓機構所辦理的。


The competition mentioned in the Taiwanese news is organised by Jettwings Institute, a private training school with headquarters in India. The Ministry of Education, Singapore, is not involved in organising the competition and does not officially endorse it. The website below has more information about the competition:

http://www.imcchina.cn/


Gifted Education, Curriculum Planning and Development Division ∙ Tel: +65-67713000 ∙ Fax: +65-68354465

Ministry of Education, Level 13, 1 North Buona Vista Drive, Singapore 138675 ∙ http://www.moe.gov.sg

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孫文先 敬上

有些以營利為目的的競賽收取高額的報名費，
每隊六名學生收取US$ 450(約新台幣壹萬參仟伍佰元)報名費，每人另外還要繳交食宿費用。例如:
http://www.wmtc-math.net/en/registration.html

這些比賽幾乎人人有獎，等於是花錢買獎牌，失去數學競賽的意義。

http://www.wmtc-math.net/en/rules.html

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孫文先 敬上

以下是一位香港教授所寫關於評論數學競賽的文章，請參考。

香港「數學比賽」和「奧數」拉雜談


近年香港有很多小學數學比賽，不過，真正能說得上是「全港公開」的小學數學比賽應該只有兩個，一個是教協主辦的「全港小學數學比賽」，另一個是保良局主辦的全港數學公開賽。其它的數學比賽可能只限於某一個辦學團體的學校才能參加，又或者只限某一個地區的學校參加，參賽的學校雖然可能多至幾十間，水準也很高，但名義上仍然不算是「全港公開賽」。往年報名教協參賽學校數目很多，近年報名的學校數目沒有之前踴躍。原因之一是小學人口下降，學校數目減少，另一個原因是教協的獎項較少，參賽學校幾百間，決賽則只有冠亞季軍三個大獎。這點教協賽會亦理解，所以幾年前開始設分區冠亞季獎。讓香港五個區的學校在初賽中爭奪設三個分區大獎，但決賽大獎仍然是三個。

一般小學數學比賽只限高小學生參加，不過商辦比賽則由小二至小六各級比賽都有。比賽以一等獎，二等獎，金獎，銀獎等等這樣比較含糊的頭銜作獎項。有別於冠亞季軍和優異獎這些有名次的獎項，一等獎這樣的頭銜比較容易走位。一個比賽能有3分1的學生得到一等獎，3分1的學生再得二等獎，幾乎人人有獎。由於家長希望培養小朋友得獎，水平問題先不考慮。小朋友的「學習歷程檔」中能包括幾個獎項，對升「英中」很有幫助。家長一聽見「奧數比賽」，便趨之若騖，很願意把兒子送入「奧數班」，希望在「奧數比賽」中得獎。所以參賽的學生(應該是家長)日多，而且，他們不一定知道這些是商辦補習班和比賽。

數學的基本本質是思考，用簡單兩句話概括，「在比賽時思考體現為解題過程，在上課時，思考體現為概念的學習和應用。」小學課程內有很多數學思考元素是我們忽略的。例如由整數概念推廣展至分數概念，這需要數學思考。如何應用整數除法在分數，也是一種數學思考。數學課堂常常把應有的思考過程以數學公式或結果告訴學生，所以學生沒有了思考的機會，久而久之，便覺得數學只是背公式的科目。只要信答案，不要問原因。

1996年在一個比賽中我見過以下的題目。

(數學式子略)
「 」
這個問題現在己變成陳題，即是熟口熟面，而且是奧數班必教內容，當年則比較少見。這個問題作為思考練習很好，作為比賽題目便見仁見智，因為學過的學生一眼便可以得出答案是「 」，因為他們學過 。

(數學式子略)

學生如果沒有學過以上解題內容，便要花很多時間才能算出答案，得分自然低，但不代表沒有數學能力。

如果要較公平出題的話，應可先給出例題，再由學生解類似問題。
例如先給出以下解題過程，由學生參考。

(數學式子略)

然後要求學生參考上述過程解答問題。

(數學式子略)

這樣的話，沒有學過類似內容的同學，也有機會由理解上述數學過程得出答案。

另一個陳題例子，是「有糖果不知多少粒但知少於100粒，如果以3粒一組，則餘1粒。如果以5粒1組，則餘2粒，如果以7粒一組，則餘3粒。問原有糖多少粒? 」

學過「定理」的同學，立即可以給出答案52粒。「1x70 + 2x21 + 3x15 = 157，再以157 – 105 = 52」。如果沒有學過的話，半個小時也不會算出答案。所以，這道題應更改數字，讓沒有學過「定理」的同學也有機會算出答案，例如把題目改為「有糖果不知多少粒但知少於100粒，如果以3粒一組，則餘1粒。如果以5粒1組，則餘2粒，如果以7粒一組，則餘4粒。問原有糖多少粒? 」

由於「5餘2」即是「欠3」，而「7餘4」也是「欠3」。所以先考慮同時滿足「5餘2」和「7餘4」的整數，「5x7 – 3 = 32」便是一個答案。但是整數32不滿足「3餘1」。所以把32再加35，即是67。而67仍然滿足「5餘2」和「7餘4」，同時也滿足「3餘1」。所以答案是67。學過餘數的同學也有機會正確解題。

如果可以的話，數學比賽也可以出一些「一題兩解」的問題，因為對智性的要求更高。例如給出以下問題，要求學生給出兩解。
「兩班學生A和B共有84人，兩班的男生共有58人。A班的男生佔A班的 5/8，B班男生佔B班人數的 3/4。問A班有多少人? 」

一般小六學生會先用方程找出答案，再看看有沒有其它解法。
設A班有x人，B班便有(84- x)人。

(數學式子略)
��
即是A班有40人。

因為知道答案是40，用假定法和算術技巧亦可以得出答案。

(數學式子略)

數學比賽所比的不應只是快速得出常規數題答案，而是鬥智鬥巧。學生不單會解這些問題，更應要知道這些問題的解題過程是怎樣得來的。如能變更題目，更上層樓，才是思考的學習，否則只是鬥快鬥熟。以上的要求說來容易，要求一組學生合作解題不難，但是比賽中要求一題兩解，便需要很多比賽時間。

現行真正的奧數比賽(IMO)只有一個，英文全名是「International Mathematical Olympiad」，1959年由羅馬尼亞主辦第一屆，參賽者一定只能是高中生，賽事一般是三天，只考幾條問題，參賽者合力解題。比賽題全都不是常規題目，並不能由記下一大串數學結果和程式便能解決。IMO的相關主辦會議是 WFMNC (The World Federation of National Mathematics Competitions)，其它團體所辦的「奧數(MO)」比賽，都不可能是真正的奧數比賽。儘管很多商辦比賽機構，一早把握商機，把「XXMO」，「YYIMC」等名稱作商業登記和註冊，好像他們才是正式的官方單位，能派隊代表本區參加外地比賽。反而真正的官方單位主辦數學比賽時用上MO或者IMC這樣的名稱，變成可能「侵權」，實在荒謬。

2011年印尼教育局主辦數學比賽IMC (International Mathematics Competitions)，賽會主席孫文先先生希望我能選拔香港學生出賽，由於教協主辦的比賽和保良局的比賽是全港公開的，得獎的學生數學能力有保證，所以亦為賽會接受。這個IMC比賽每年由不同國家地區主辦，分小學和初中兩組，參賽國家地區總隊數達二百多隊，參賽學生千多名，而且賽會還提供5天的免費食宿及文娛活動，主辦的目的是真正的數學交流。今年2015會在中國長春舉行，明年2016則由泰國教育部主辦，之前則由保加利亞(BIMC)，臺灣(TAIMC)和韓國(KIMC)等地主辦。

互聯網世界的資訊是公開的，很快便有一些香港家長寫電郵給我，問能否以個人名義報名參加IMC的比賽，我只能解釋，香港每年在IMC的小學參賽名額是4隊，所以只能由保良局的選拔賽，以及教協公開賽的得獎學生中選擇。家長聽後很失望，因為他兒子參加的「XX杯」數學比賽一般都是個人報名的，而且還得過一等獎，為甚麼IMC的數學比賽不接受個人名義參加。

我向學校打聽這些商辦比賽的運作形式，一般賽會先寫信要求學校推荐學生參賽，人數不限而且不收費用。比賽回條要求學生寫下通訊資料，比賽過後，賽會便會直接聯絡這些參賽學生，提供「數學課程」，以便取得好成績，推荐他們參加另一個「比賽」。這些課程需要「考試」，不過如果能參加「特訓班」後再考試，一般「成績不錯」，這些特訓班收費雖不便宜，但是學生能有機會在另一個比賽得獎，還可以代表香港出外參加比賽，當然值得高興，只不過沒有家長會問外地的比賽單位是否商辦，而滿足代表資格的學生又會這樣多。

有學校因為上一年不少學生家長收到商辦單位推銷的特訓班，所以為保障學生，學校不再在回條中提供學生通訊地址，只以學校地址作通訊聯絡。結果商辦單位的回應也很直接，他們回覆學校:「因為參加學生人數眾多，所以貴校報名的學生未能人選。」

我再請教另一位小學數學主任，他們的學校也知道這不是官方數學比賽，初賽不收費只是引子，但是家長喜歡參加，而且，以家長的通訊地址作聯絡，學校的行政負擔少，也不用跟進之後的活動。比賽變成了家長和賽會之間的事，反正家長在其它方面也願意付費給商業機構學習，例如英語話劇，境外交流團等等而不必通過學校，參加這些比賽亦應一視同仁。

更令人奇怪的，是竟然有選修數學教育的同學參加「奧數教練班」課程。他們解釋參加的原因是課程不算太貴，上六至八課連考試只收三四千港圓。考試及格便可獲「奧數教練」證書，之後便可以為小學生「特訓數學」。不過，他們也發現這些「教練班」的其它學生數學水準很參差，但一樣考試合格。如果選修數學的學生，和沒有修數學的人都能取得「教練證書」，夫復何求。個人並不反對這些比賽和訓練班，但是大家要了解，自己所花的時間和金錢，是否有所得著。

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孫文先 敬上

有一些補習班所辦理的競賽故意與九章數學教育基金會辦理的比賽撞期，因為他們知道一些數學高手都會考九章的比賽，這樣其他的人參加他們的比賽比較容易得獎，再者因為他們的試題都出現在講義中，他們補習班的學員考得會比較好。
沒有在這些機構補習者您們願意當他們的墊背嗎?

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孫文先 敬上

从奥赛到数学家
中国科学院院士 林群

在此次全国中学生数学冬令营，我见到了很多位教练、专家，今天到场的还有很多家长，这说明我们这个活动不单单是学术界的事情，而且是全民关心的事情。奥赛的目的是什么呢，昨天我跟科技大学数学所胡森所长商量一下，他让我来讲讲“从奥赛到数学家”。
就像这次开奥运会，不只是为了夺取奖牌，而是为了全民的身体健康。举办奥赛也是这样，奥赛的目的是引起全国中学生、青少年对数学的爱好和兴趣，从而培养一批卓有成就的数学家。胡森所长建议我们来探讨数学家跟奥赛的关系，以及奥赛选手如何走向数学家的道路。这里有一份胡森所长提供给我的数据，现在国际上有很多成功的例子，譬如说，数学界最高奖菲尔茨奖（数学界的诺贝尔奖）的获得者很多位也是奥赛获奖者，去年菲尔茨奖获得者著名的华裔数学家陶哲轩教授，他就是奥赛金牌得主，不仅有美籍华人，还有俄罗斯的两位。匈牙利、美国的好几位奥赛选手也获得了数学最高奖，这是非常成功的。
然而回到中国，从目前获得的数字看，我们有比较成功的，但是还没有达到这么顶尖地步的，我们有一位获得奥赛金牌的女同学在美国当上副教授；还有更早一点，李骏同学，他是在复旦大学毕业的，获得过上海奥赛的第一名，是著名数学家邱先生的学生，现在是哈佛大学（有人说，李骏是斯坦福大学）的正教授，这是非常好的成绩。还有一个是在科技大学工作的沈维孝教授，他是安徽省奥数一等奖，现在已在数学最顶尖的杂志上发表了7篇论文，一般能发表一篇就了不起，他一个人发表了7篇，真是非凡，最近他又获得陈省身奖，据说还要在明年的国际数学家大会上作邀请报告。这些都说明我们通过数学竞赛活动已经发现和培养出一些相当出色的数学家。但是，大家也很清楚，我们更多的奥赛奖牌获得者都出国了，很多人出国以后就不一定搞数学了，去搞金融、经济、统计了（因为要谋生么，改行了），留在数学领域的选手本来就不多，在这不多里头，卓有成就的不可能很多，这是一方面原因。第二个方面的原因，恐怕是还得要看看我们在奥赛取得这么大成功的同时，背后是不是还存在着不足？奥赛就像这次奥运会一样，我们是绝对第一、绝对领先的，美国、俄罗斯分列二、三。两者的培训方式也非常相像，例如中国体育是全民体制，从青少年中选拔种子，然后选中国最好的教练，甚至世界上最好的教练，通过集中培训来培养他们，这方面我们是成功了，因为实践是检验真理的标准，中国几乎垄断了金牌，就没什么好说了。
以前奥赛很少是这么做的，但直到改革开放以后，我们一直是采取发现种子，集中培训，取得了重大成功，这是成功的经验，我们当然要继承下来。但是采取这种培养方式，我们下了很多的功，我们的老师和学生太用功了，把精力主要集中在初等数学上，培养用初等数学的方法解决数学中比较困难问题的本领，那么多时间花费在上头，他们注重初等数学的技巧、方法的熟练掌握，几乎做遍了所有题，以致拿到题他们不需要多思索。我认识一个奥赛冠军，他说主要是几何题很难做，几何题画辅助线很难，但是他很有经验的，把题拿来，然后画画几条线，看看哪一条像，一般再改造一下就把题做出来了，这是一种不求基本方法只求经验，熟能生巧，这当然是很强的本领，我是非常钦佩的，但是感觉这还是不够的，因为近代数学更倾向于解析几何、微积分的方法，我们的奥赛选手把力量集中在初等数学上，而且养成了习惯，学不进近代数学方法。这些学生都有非常强的初等数学功夫，他们觉得高等数学太简单，微积分谁做不出来啊，我就是要用初等数学做做你们用微积分才能做出来的题目，这才是我的本领。好像用微积分做就没有水平。这方面恐怕我们教育界也有责任，如何培养他们对主流数学认识，虽然我们不可能学很多数学，但是很多初等数学中蕴含了主流数学的影子，所以我们在这方面应该注意。
回想起改革开放的时候，我国恢复了奥赛，当时华罗庚先生做主席，我们都参加了华先生领导的这个委员会。当时华先生给中学生出的题，都是取自一辈子要用的问题，华先生说：他出的题在以后的大学、工作中都会有用处，不是就这个题来考学生。记得当时很多老师都说这不行，这些题太容易了，考不出学生的水平。华先生说：你们出的难题怪题，学生只是在考试时遇到一次，终身都用不上，这对学生成长是没有好处的。华先生出了个极端题，像谜语一样，谁也做不出来，但有什么意义呢！
华先生举了陈景润的例子，如果你当面问陈景润问题，他答不出来，因为他没做竞赛题，但是过了三天，他给出的答案比谁都深刻，而学数学竞赛的人，当场可以答出来，但是这没太大意义。华先生还举个例子，他最钦佩的一位苏联数学家，他也是反应很慢，你问他，他答不出来，但是过几天他想的比你深得多。
记得听陈省身先生讲过怎样培养数学家，一是接受好的教育，第二是自己的努力，当然还有自己的天分。所以我们一定要给予他们好的教育，培养他们不仅是解难题的高手，而且是创造发明的大数学家。
在教育方面，这里有很多成功的经验。比如说陶哲轩，他在高中时就学了很多高等数学的知识。还有科大少年班的一些同学，小的时候就看了微积分。高等数学的思想如何通过教练引进来，使学生不仅能做好题，而且接轨好以后的前沿数学，这恐怕是值得我们讨论的。
这次我也见到香港教育局的李老师，他说香港也是这样。因为香港处在东西方文化交汇的桥头堡，一方面香港受到中国传统的影响，对我们的培训方法也比较重视；另一方面，香港受到西方的影响，他们认为中学生会解问题是没问题的，如果学生不提问题、不问问题，那就有很大的问题。
一般来说，数学家不只是解决问题，还要提出问题，许多数学家认为提出问题要比解决问题更重要。我们培养学生不只是解题的能手，而且能够提出问题，不只是证明，还要能发明。数学应该是先发明后证明，证明是其次的。
我经常跟中学老师讨论这个问题。平面几何大家都滚瓜烂熟，比如说三角形内角和是多少，面对这个问题中学生不需考虑，拿过来画一根平行线就做出来了。然而，这个定理是怎么发明的，没有人问过，没有这个定理，你怎么想到这个定理。这样的定理先是怎样发明的，然后才问怎么证明。勾股定理大家都非常清楚，勾股定理的证明是很难的，但对奥赛选手来说这是家常便饭、轻而易举的。然而勾股定理是如何发明的，我跟老师和学生讨论过，他们从来都没想过这个问题，他们认为知道勾股定理是怎么证明的就行了，为什么还要问怎么发明的。其实勾股定理关键在于发明，先发明再证明。吴文俊先生提倡机械化的证明。所以我们在培养学生的时候，特别是我们的教练都是最有经验的，还得注意我们的培养方法。我们培养学生不只会证明，还要会发明，不只会解决问题，还要会提出问题、开辟新的问题。这样，我们不仅会在国际奥赛中保持好的成绩，而且能造就世界级的大数学家。谢谢大家！

（本文是林群院士在2009年中国数学奥林匹克活动期间所做的报告，华东师大出版社孔令志根据录音整理，并经过本人审阅。后发表于《湖南教育》申建春主持的名家论坛》。）

作者简介：林群，计算数学专家，1935 年7 月生于福建，1956 年由厦门大学数学系本科毕业，随即来到中科院数学研究所。1993 年当选中科院院士，1999 年当选第三世界科学院院士，第九、十届全国人大代表。现为中科院数学与系统科学研究院研究员。获1989 年中国科学院自然科学奖一等奖，2001 年获捷克科学院“数学科学成就荣誉奖章”。

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孫文先 敬上