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2020 澳洲AMC數學能力檢定


2020年國際中小學數學能力檢測(IMAS)


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2020青少年數學國際城市邀請賽(IIMC 2020,印尼雅加達市))


2019年國際小學數學及自然科學奧林匹亞 (IMSO 2019,越南 Hanoi市)


2019國際青少年數學奧林匹亞 (ITMO 2019,印度 Lucknow市)

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澳洲AMC數學能力檢定

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國際小學數學及自然科學奧林匹亞(IMSO)

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      /  困難的題目
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發布者內容列
j7631103
Home away from home



註冊日: 2005-03-06
發表數: 490


 困難的題目

X+Y+Z=0
X^2+Y^2+Z^2=-2
X^3+Y^3+Z^3=-3
求使得X^p+Y^p+Z^p=0之最小p值(p=2.3.4......)

 2007-04-18 19:39個人資料傳送 Email 給 j7631103
danny830401
Just can't stay away



註冊日: 2006-05-14
發表數: 71


 Re: 困難的題目

Z.Y.X有限制嗎
不然三個完全平方數應該不是-2吧

 2007-04-18 21:55個人資料
j7631103
Home away from home



註冊日: 2005-03-06
發表數: 490


 Re: 困難的題目

我沒有說他不會是虛數

 2007-04-18 21:56個人資料傳送 Email 給 j7631103
jhshieh
Just popping in



註冊日: 2004-11-24
發表數: 17
桃園

 Re: 困難的題目

那你就應該清楚國中並沒有提到虛數的計算,放到國中自然困難。

 2007-04-18 22:03個人資料拜訪網站msnm
j7631103
Home away from home



註冊日: 2005-03-06
發表數: 490


 Re: 困難的題目

沒必要將X,Y,Z求出

 2007-04-18 22:13個人資料傳送 Email 給 j7631103
aa963854116
Home away from home



註冊日: 2006-01-06
發表數: 392
從未發現之89號星座

 Re: 困難的題目

x + y + z = 0
xy + yz + zx = 1
xyz = -1

f(n) := x^n +y^n + z^n
得 f(4) = 2, f(5) = 5 ...
這樣試還是要是很久
有沒有比較正確的解法??

 2007-04-19 21:25個人資料
bubupin
Home away from home



註冊日: 2007-03-13
發表數: 353


 Re: 困難的題目

令f(n)=x^n+y^n+z^n

由f(1)=0,f(2)=-2得xy+yz+xz=1;由f(1)=0,f(3)=-3得xyz=-1

f(n)=f(n-1)(x+y+z)-xy(x^n-2+y^n-2)-yz(y^n-2+z^n-2)-xz(x^n-2+z^n-2)=-xy(f(n-2)-z^n-2)-yz(f(n-2)-x^n-2)-xz(f(n-2)-y^n-2)
=-(xy+yz+xz)*f(n-2)+xyz*f(n-3)=-(f(n-2)+f(n-3))

依序求得數列f(n)為0,-2,-3,2,5,1,-7,-6,6,13,0,........

故n>1時f(n)=0之最小值n=11

 2007-04-19 21:38個人資料
j7631103
Home away from home



註冊日: 2005-03-06
發表數: 490


 Re: 困難的題目

引文:

bubupin 寫道:
令f(n)=x^n+y^n+z^n

由f(1)=0,f(2)=-2得xy+yz+xz=1;由f(1)=0,f(3)=-3得xyz=-1

f(n)=f(n-1)(x+y+z)-xy(x^n-2+y^n-2)-yz(y^n-2+z^n-2)-xz(x^n-2+z^n-2)=-xy(f(n-2)-z^n-2)-yz(f(n-2)-x^n-2)-xz(f(n-2)-y^n-2)
=-(xy+yz+xz)*f(n-2)+xyz*f(n-3)=-(f(n-2)+f(n-3))

依序求得數列f(n)為0,-2,-3,2,5,1,-7,-6,6,13,0,........

故n>1時f(n)=0之最小值n=11


厲害,沒有錯

 2007-04-19 22:27個人資料傳送 Email 給 j7631103
j7631103
Home away from home



註冊日: 2005-03-06
發表數: 490


 Re: 困難的題目

你是怎麼求出f(4) = 2, f(5) = 5
我提供我的做法
X+Y+Z=0...........(1)
XY+YZ+ZX=1..........(2)
XYZ=-1......(3)(已有人求出)
運用三次的根與係數關係
由(1).(2).(3)得X,Y,Z為T^3+T+1=0之三根
因為T不等於0兩邊乘上T
T^4=-(T^2+T)
再用X,Y,Z帶入後相加便可求出四次,再類似的做下去便可得f(11)=0

 2007-04-19 22:45個人資料傳送 Email 給 j7631103
bubupin
Home away from home



註冊日: 2007-03-13
發表數: 353


 Re: 困難的題目

f(1)=0
f(2)=-2
f(3)=-3
f(4)=-(f(1)+f(2))=2
f(5)=-(f(2)+f(3))=5
f(6)=-(f(3)+f(4))=1
.............
你的T^4=-(T^2+T)即f(4)=-(f(2)+f(1))

"那你就應該清楚國中並沒有提到虛數的計算,放到國中自然困難。"
國中生不會三次的根與係數關係,用多項式解就好了

 2007-04-20 01:41個人資料
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