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      /  為什麼平方數這麼神奇?
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celine.yang06
Quite a regular



註冊日: 2007-08-28
發表數: 44


 為什麼平方數這麼神奇?

我發現了一個奇特的東西,任何一個正整數都可以是一或二、三或四個正整數的平方的和,舉例來說:
1=1*1(一個平方數)
2=1*1+1*1(二個平方數)
3=1*1+1*1+1*1(三個平方數)
4=2*2(一個平方數)
5=2*2+1*1(二個平方數)
6=2*2+1*1+1*1(三個平方數)
7=2*2+1*1+1*1+1*1(四個平方數)
......................................................................
210=11*11+5*5+7*7(三個平方數)
或14*14+2*2+3*3+1*1(四個平方數)
等等…………
為什麼會這樣呢?

 2007-09-28 23:16個人資料
bubupin
Home away from home



註冊日: 2007-03-13
發表數: 353


 Re: 為什麼平方數這麼神奇?

(a^2+b^2+c^2+d^2)(e^2+f^2+g^2+h^2)
=(ae+bf+cg+dh)^2+(af-be+ch-dg)^2+(ag-bh-ce+df)^2+(ah+bg-cf-de)^2

將任意正整數A提出最大平方數與其他質因數之乘積
令A=x^2*p*q*r......
若對任意質數p,q,r....痧鄋磳雃
p=a1^2+b1^2+c1^2+d1^2,q=a2^2+b2^2+c2^2+d2^2,r=a3^2+b3^2+c3^2+d3^2........

則p*q=(a1^2+b1^2+c1^2+d1^2)(a2^2+b2^2+c2^2+d2^2)=a^2+b^2+c^2+d^2

p*q*r=(a^2+b^2+c^2+d^2)(a3^2+b3^2+c3^2+d3^2)=a'^2+b'^2+c'^2+d'^2

如此A=x^2*p*q*r......可表示為四個平方數之和
已知2=1^2+1^2+0^2+0^2
因此只要證明任一奇質數可表示為四個平方數之和即可(四個平方數為正整數或0)

 2007-10-02 13:13個人資料
bubupin
Home away from home



註冊日: 2007-03-13
發表數: 353


 Re: 為什麼平方數這麼神奇?

如果你是國中小生,建議您做以下檢驗即可.
檢查任意正整數,發現其中某些數無法表示成三個平方數和
7,15,23,31,39,47,55,63,..................
28,60,92,124,156,188,220,..............
112,240,368,496,624,752,880,...........
這些數可以歸納成4^m(8k+7)的型式
換句話說,4^m(8k),4^m(8k+1),.....4^m(8k+5),4^m(8k+6)
是可以表示成三個平方數和
而4^m(8k+7)=4^m(8k+6)+4^m=a^2+b^2+c^2+(2^m)^2
因此任意正整數,皆可表示成四個平方數和

 2007-10-02 22:33個人資料
bubupin
Home away from home



註冊日: 2007-03-13
發表數: 353


 Re: 為什麼平方數這麼神奇?

1.
任何平方數皆呈4x或4x+1型態,故對任何呈4x+3型式的數,必無法表示成兩平方數和,將質數p分為4k+1和4k+3兩種,對正整數a,a=1~p-1,求a^2除以p的餘數,對4k+1型質數可產生2k種餘數,而4k+3型質數可產生2k+1種餘數
例如:
4k+1型17:1,4,9,16,8,2,15,13,|13,15,2,8,16,9,4,1,有8種餘數,可產生四組餘數相加等於17
4k+3型(k為偶數)11:1,4,9,5,3,|3,5,9,4,1,產生五種餘數,若將其乘2再除以11,可找到另5個可能餘數
4k+3型(k為奇數)23:1,4,9,16,2,13,3,18,12,8,6|...,產生11個餘數,任取兩個相加除以11,可找到另11個可能餘數.
2.
對4k+1型質數p,可找到2k組呈現a^2+b^2=mp
例如:3^2+5^2=2*17,6^2+7^2=5*17
對4k+3質數p,可找到a^2+b^2+c^2=mp,視同a^2+b^2+c^2+d^2=mp
1^2+4^2+4^2=3*11,2^2+4^2+7^2=3*23
3.
接下來,我們就4k+1型質數尋找a^2+b^2=p,即求m之最小值1,以p=29為例
(1)11^2+13^2是29的10倍,我們將11和13分別除以10,得到一組餘數為(1,3)
利用(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2
對a^2+b^2=mp而言,(ac+bd),(ad-bc)必為m的倍數
將(11^2+13^2)(1^2+3^2)改寫成=(11*1+13*3)^2+(11*3-13*1)^2=50^2+20^2,等式兩邊各除以100,得到29=5^2+2^2

(2)再做一次練習,這次,當餘數大於被除數m的一半時,我們引進負餘的觀念
8^2+9^2=5*29,(8,9)除以5,得到餘數(3,4),將(3,4)改成(-2,-1),以(8,9),(-2,-1)來操作可得|(8*-2+9*-1)|/5=5,(8*-1-9*-2)/5=2,如此亦可得到5^2+2^2=29

(3)
可以用任一a^2+b^2=mp推出其餘各組符合a^2+b^2=mp的組合
例如:利用4^2+11^2=137求出1+x^2=137k的正整數解
利用負餘觀念,(4,11)==(4,126)==(2,63)==(2,74)==(1,37)
可以求得1^2+37^2=137*10
4.
就4k+3型質數尋找a^2+b^2+c^2+d^2=p,即求m之最小值1,以p=23為例,2^2+4^2+7^2=3*23
利用(a^2+b^2+c^2+d^2)(e^2+f^2+g^2+h^2)=(ae+bf+cg+dh)^2+(af-be+ch-dg)^2+(ag-bh-ce+df)^2+(ah+bg-cf-de)^2
(2^2+4^2+7^2+0^2)(-1^2+1^2+1^2+0^2)
=(-2+4+7+0)^2+(2+4+0-0)^2+(2-0+7+0)^2+(0+4-7-0)^2
69*3=9^2+6^2+9^2+3^2
同除9得23=3^2+2^2+3^2+1^2
************************************************************
由上可知,4k+1型的質數p,可表示成兩個平方數和
同理,4k+3型的質數p,可表示成四個平方數和,故對任何質數而言,均可表示成四個平方數和

 2007-10-08 13:27個人資料
celine.yang06
Quite a regular



註冊日: 2007-08-28
發表數: 44


 Re: 為什麼平方數這麼神奇?

bubupin叔叔:
謝謝您的指導,希望為了解答我的問題,不會浪費您太多時間,這個解答真的把我嚇一跳呢!之所以會提出這個問題,是因為我到醫院看診,等候時間實在太久了,我就用看診號碼玩起拆數遊戲來了,只要看診燈號一轉換,出現一個新數字,我馬上在腦海中搜尋相關的數字加以組合,玩著玩著,就找出了這樣的玩法,但是不知道為什麼會這樣?看了您的解答,發現學問不小呢!或釦琲熊{度太差了,我現在還在努力思考理解中,但是還是非常謝謝您!

 2007-10-10 20:35個人資料
bubupin
Home away from home



註冊日: 2007-03-13
發表數: 353


 Re: 為什麼平方數這麼神奇?

  應該是我向你謝謝才對.我引用這一題讓我讀小六的兒子去解,得到的收穫十分寶貴,當我們得到初步的成果時,居然發覺,大學一年級基礎數論課程,當中所指出的內容重點,涵誧畯怍珓鉿猁漲U個問題,當然,研究你這一題,完全陌生的數論課程,相信孩子以後有機會學到,其實已是熟悉的東西.但如果不是因為你這一題,想想看,誰會去碰這些鬼東西呢?即使現在,要我去買這類書靜下心來看上二十分鐘都很困難.但是,話又說回來,一個大學生,如果之前沒有去接觸到這些東西,當他一開始學時,一定會花一段時間才能抓住重點並體會出其中的樂趣.而我也相信,有些人等到畢業後,可能也搞不清楚到底學到了什麼.
  這一題其實沒有那麼複雜,只是為了讓孩子去學到有用的研究過程,同時引發興趣,才會給他嘗試各個方向的思考.他花用的時間極少,但實際上得到的都是有用的知識與經驗.以下的方法可以提供你做為參考.
  以質數17舉例來說,你可以試試看以下的做法,這樣就容易多了:

1.1~8各數的平方除於17的餘數皆不相同
2.從{1,2,3,4,5,6,.......16}中取出8個數,再從8個數當中任取兩數相加(包括自己加自己)後除以17,則必可得出其餘的8個數.
  其實你這道題只要能夠證明以上兩點對任何質數都成立即可.而證明的方法並不難,你也不必給我解答,只要放在心堙A有空多想想就可以了.

  你是個聰明的小孩,懂得把握零碎的時間去思考,我的孩子也像你一樣喜歡想這些有的沒的,再一次謝謝你,讓我們的生活更加充實.

 2007-10-10 21:55個人資料


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